新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】再练一课(范围：§2.1～§2.3)

再练一课(范围：§2.1～§2.3)

一、单项选择题

1．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　)

A．－  B．  C．－1  D．1

答案　C

解析　由已知，得＝tan 45°＝1.故y＝－1.

2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　联立解得

∴交点(－1,1)在第二象限．

3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．0°≤α<90°   B．90°≤α<180°

C．90°<α<180°   D．0°<α<180°

答案　C

解析　直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，

又直线l经过第二、四象限，

所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)

A．5   B．4 

C．2   D．2

答案　C

解析　设A(x,0)，B(0，y)，

由中点公式得x＝4，y＝－2，

则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.

5．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p＋m＋n的值为(　　)

A．－6  B．6  C．4  D．10

答案　A

解析　因为直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，

所以2×3＋(－2)m＝0，解得m＝3，

又垂足为(2，p)，

代入两条直线方程可得

解得

则p＋m＋n＝－1＋3＋(－8)＝－6.

6．设P，Q分别是3x＋4y－10＝0与6x＋8y＋5＝0上的任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．3  B．6  C．  D．

答案　D

解析　两条直线的方程分别为3x＋4y－10＝0与6x＋8y＋5＝0，

因为＝≠，

直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，

所以两平行线的距离即为|PQ|的最小值即d＝＝.

二、多项选择题

7．下列说法正确的是(　　)

A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)

C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝

D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0

答案　AB

解析　A选项，直线在横、纵坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确；

B选项，在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确；

C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；

D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误．

8．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m

C．点到直线l的距离是2

D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0

答案　CD

解析　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；

对于B，直线l的斜率k＝，直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；

对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；

对于D，过(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．

三、填空题

9．已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的长为________，过A，B两点直线的倾斜角为________．

答案　　

解析　根据两点之间的距离公式，得线段AB的长为＝，

根据斜率公式，得过A，B两点直线的斜率为kAB＝＝－1，

又因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，

所以过A，B两点直线的倾斜角为.

10．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．

答案　－6

解析　直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，

∴＝＝3，

∵直线l1经过点A(0，－1)和点B，

∴＝＝－，

∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2，

∴－＝3，

解得a＝－6.

11．已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4)．若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________；若从点M(m,0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是________．(结果用m表示)

答案　x－2y＋2＝0　

解析　设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0，

∴

解得x0＝4，y0＝3，

故P′(4,3)，又Q(－2,0)，

∴直线P′Q：y－0＝(x＋2)，即反射光线所在直线方程为x－2y＋2＝0.

设点M(m,0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为P″(－m,0)，

关于直线AB的对称点为P(x1，y1)，

由

解得x1＝4，y1＝4－m，故P(4,4－m)．

故|P″P|＝＝.

12．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为________．

答案　

解析　设AB的中点坐标为(x，y)，

因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，

所以

两式相加得2(x1＋x2)＋(y1＋y2)－12＝0，

所以4x＋2y－12＝0，即2x＋y－6＝0，即为AB中点所在直线方程，

因此原点到直线2x＋y－6＝0的距离，

即为AB的中点到原点的距离的最小值，

由点到直线的距离公式，

可得距离的最小值为＝.

四、解答题

13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

解　(1)如图，当∠A＝∠D＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，

∴AB∥DC且AD⊥AB.

∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.

(2)如图，当∠A＝∠B＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，

∴AD∥BC，且AB⊥BC，

∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1.

∴

解得m＝，n＝－.

综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.

14．已知直线l过点(1,2)，且在两坐标轴上的截距相等．

(1)求直线l的方程；

(2)当直线l的截距不为0时，求A(3,4)关于直线l的对称点．

解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设直线l的方程为x＋y＋b＝0，

将点(1,2)代入直线l的方程，得1＋2＋b＝0，解得b＝－3，

此时直线l的方程为x＋y－3＝0；

当直线l过原点时，可设直线l的方程为y＝kx，将点(1,2)代入直线l的方程，

得k＝2，此时直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.

综上所述，直线l的方程为x＋y－3＝0或2x－y＝0.

(2)当直线l的截距不为0时，直线l的方程为x＋y－3＝0，

设点A关于直线l的对称点B的坐标为(a，b)，

则线段AB的中点为M，且点M在直线l上，

则＋－3＝0，

整理得a＋b＋1＝0，

又直线AB⊥l，且直线l的斜率为－1，

所以直线AB的斜率为kAB＝＝1，

整理得b＝a＋1，

则有

解得

因此，点A(3,4)关于直线l的对称点为(－1,0)．

15．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线BC的方程．

解　(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，

所以kAC＝－2，

又因为点A(5,1)，

所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0.

又因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，

由得

所以C(4,3)．

(2)设B(m，n)，

则AB的中点M在中线CM上，

所以2×－－5＝0，

即2m－n－1＝0.

又点B(m，n)在高BH所在直线上，

所以m－2n－5＝0.

由

解得

所以B(－1，－3)．

所以直线BC的方程为＝，即6x－5y－9＝0.