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高中数学新教材选择性必修第一册课件+讲义 模块综合试卷
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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
(时间：120分钟 满分：150分)
1.直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为
解析 因为直线y＝2x－3的斜率为2，
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
又直线l过点(－3,0)，
2.已知椭圆的中心在原点，离心率e＝ 且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为
解析 抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，∴椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，∴c＝1，
3.已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为A.(x－1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 圆心在y＝x上，设圆心坐标为(a，a)，∵圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，∴圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为
5.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为
解析 根据题意，知点P在圆C上，
又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则当△PA1C的面积最小时，DP等于
解析 根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DP＝x(0≤x≤5)，故可得P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)，
当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小.故满足题意时，DP＝1.
8.如图，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs 120°，
9.若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是A.－13 B.13 C.15 D.18
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
解析 圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C(1，－2)，半径r＝5，若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则圆心C(1，－2)到直线l的距离d<3，如图.
由|PF1|>|PF2|，知△PF1F2不可能为等边三角形，故D正确.
11.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为A.|BF|＝3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2＝6x
解析 由题意，得以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，由抛物线定义，可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，
∴|BF|＝6.又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin 30°＝3，则抛物线方程为y2＝6x，则BCD正确，A错误.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.则A.CD⊥ANB.BD⊥PCC.PB⊥平面ANMDD.BD与平面ANMD所成的角为30°
解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
设平面ANMD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1,0，－1).
∴BD与平面ANMD所成的角为30°，∴D正确.
解析 根据题意，设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_____________.
解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
∴M为AB的中点.过点B作BP⊥准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
15.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________.
解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.
即弦长|AB|的最小值为2.
17.(10分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).证明：(1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
四、解答题(本题共6小题，共70分)
证明 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
故直线经过定点M(2，－2).
证明 过P作直线的垂线段PQ(图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0，
(1)求椭圆C的标准方程；
∵焦点F的坐标为(1,0)，∴c＝1.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点.(1)求证：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；
证明 ∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，∴点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形.
(2)若F为线段BC的中点，求平面AEF与平面EFD夹角的余弦值.
解 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接DF，令PA＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)，设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，
20. (12分)已知过原点O的动直线l与圆C：(x＋1)2＋y2＝4交于A，B两点.
解 设圆心C到直线l的距离为d，
当l的斜率不存在时，d＝1，不符合题意.
(2)x轴上是否存在定点M(x0，0)，使得当l变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0？，若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由.
解 存在定点M，且x0＝3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC＝∠BMC，k1＋k2＝0，符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，整理得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，
当2x0－6＝0，即x0＝3时，有k1＋k2＝0，∴存在定点M(3,0)符合题意，即x0＝3.
21.(12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足 (如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②).
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
证明 由已知可得AE＝2，AD＝1，∠A＝60°.
故AD2＋DE2＝AE2，∴A1D⊥DE，BD⊥DE.∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角.又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D，且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.
解 存在.由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED，以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，
∵DE⊥平面A1BD，
∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，
(1)求椭圆C的方程；
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2.
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点Q(1,0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，求证：点R总在直线BM上.
证明 由题意知A(－2,0)，B(2,0).
∴点R在直线BM上.②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)，
得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
需证明B，M，R共线，
高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
(时间：120分钟 满分：150分)
1.直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为
解析 因为直线y＝2x－3的斜率为2，
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
又直线l过点(－3,0)，
2.已知椭圆的中心在原点，离心率e＝ 且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为
解析 抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，∴椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，∴c＝1，
3.已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为A.(x－1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 圆心在y＝x上，设圆心坐标为(a，a)，∵圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，∴圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为
5.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为
解析 根据题意，知点P在圆C上，
又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则当△PA1C的面积最小时，DP等于
解析 根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DP＝x(0≤x≤5)，故可得P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)，
当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小.故满足题意时，DP＝1.
8.如图，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，∴|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs 120°，
9.若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是A.－13 B.13 C.15 D.18
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
解析 圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心C(1，－2)，半径r＝5，若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则圆心C(1，－2)到直线l的距离d<3，如图.
由|PF1|>|PF2|，知△PF1F2不可能为等边三角形，故D正确.
11.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为A.|BF|＝3B.△ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2＝6x
解析 由题意，得以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，由抛物线定义，可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，
∴|BF|＝6.又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin 30°＝3，则抛物线方程为y2＝6x，则BCD正确，A错误.
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点.则A.CD⊥ANB.BD⊥PCC.PB⊥平面ANMDD.BD与平面ANMD所成的角为30°
解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
设平面ANMD的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1,0，－1).
∴BD与平面ANMD所成的角为30°，∴D正确.
解析 根据题意，设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_____________.
解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
∴M为AB的中点.过点B作BP⊥准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
15.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________.
解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.
即弦长|AB|的最小值为2.
17.(10分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).证明：(1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
四、解答题(本题共6小题，共70分)
证明 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
故直线经过定点M(2，－2).
证明 过P作直线的垂线段PQ(图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0，
(1)求椭圆C的标准方程；
∵焦点F的坐标为(1,0)，∴c＝1.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点.(1)求证：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；
证明 ∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，∴点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形.
(2)若F为线段BC的中点，求平面AEF与平面EFD夹角的余弦值.
解 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接DF，令PA＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)，设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，
20. (12分)已知过原点O的动直线l与圆C：(x＋1)2＋y2＝4交于A，B两点.
解 设圆心C到直线l的距离为d，
当l的斜率不存在时，d＝1，不符合题意.
(2)x轴上是否存在定点M(x0，0)，使得当l变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0？，若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由.
解 存在定点M，且x0＝3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC＝∠BMC，k1＋k2＝0，符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，整理得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，
当2x0－6＝0，即x0＝3时，有k1＋k2＝0，∴存在定点M(3,0)符合题意，即x0＝3.
21.(12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足 (如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②).
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
证明 由已知可得AE＝2，AD＝1，∠A＝60°.
故AD2＋DE2＝AE2，∴A1D⊥DE，BD⊥DE.∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角.又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.∵DE∩DB＝D，且DE，DB⊂平面BCED，∴A1D⊥平面BCED.
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.
解 存在.由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED，以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，过P作PH∥DE交BD于点H，设PB＝2a(0≤2a≤3)，
∵DE⊥平面A1BD，
∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，
(1)求椭圆C的方程；
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2.
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点Q(1,0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，求证：点R总在直线BM上.
证明 由题意知A(－2,0)，B(2,0).
∴点R在直线BM上.②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)，
得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
需证明B，M，R共线，
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