高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第二课时导学案

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题型 1利用指数函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1)3.10.5，3.12.3；
(2)()－1.5，()－1.8；
(3)0.62，0.63；
(4)()－0.3，()－0.24；
(5)0.53.2，1.32.1；
(6)2.3－2.5，0.2－0.1.
题后师说
比较幂大小的一般策略
跟踪训练1 (1)若a＝，b＝20.3，c＝0.93.1，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>a>b D．a>b>c
(2)设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．a题型 2利用指数型函数的单调性解不等式
例2 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，0] D．[0，1]
(2)若ax＋1＞()5－3x (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
题后师说
利用指数函数单调性解不等式的步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)解关于x的不等式()x－4≥3－2x .
题型 3指数函数图象和性质的综合应用
例3 已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断f(x)在R上的单调性(不必证明)；
(3)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
题后师说
有关指数函数性质综合问题的求解策略
跟踪训练3 设函数f(x)＝ax＋mbx，其中a，m，b∈R.
(1)若a＝2，b＝，且f(x)为R上的偶函数，求实数m的值；
(2)若a＝4，b＝2，且f(x)在R上有最小值，求实数m的取值范围．
随堂练习
1.a＝20.7，b＝40.37，c＝()－1.8，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．c2．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．若()4a＋2<()8－3a，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
4．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)为偶函数，则实数a的值为________．
课堂小结
1.比较指数式值大小的方法．
2．解简单指数不等式．
3．指数函数性质的综合应用．
第2课时 指数函数的图象和性质(二)
例1 解析：(1)由题意，由于指数函数y＝3.1x在R上单调递增，且0.5<2.3，故3.10.5<
(2)由题意，由于指数函数y＝()x在R上单调递增，
且－1.5>－1.8，故()－1.5>()－1.8.
(3)由题意，由于指数函数y＝0.6x在R上单调递减，
且2<3，故0.62>0.63.
(4)由题意，由于指数函数y＝()x在R上单调递减，
且－0.3<－0.24，故()－0.3>()－0.24.
(5)由题意，由于指数函数y＝0.5x在R上单调递减，y＝在R上单调递增，故0.53.2<0.50＝1，1.32.1>1.30＝1，故1.32.1>
(6)由题意，由于指数函数y＝2.3x在R上单调递增，y＝在R上单调递减，故2.3－2.5<2.30＝1，0.2－0.1>0.20＝1，故0.2－0.1>2.3－2.5.
跟踪训练1 解析：(1)因为函数y＝2x在区间(－∞，＋∞)上单调递增，>0.3>0，所以>20.3>20＝1，函数y＝在区间(－∞，＋∞)上单调递减，3.1>0，所以0.93.1<0.90＝1，综上可得>20.3>1>0.93.1，即a>b>c.故选D.
(2)因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1<0.80.8<1，即a1，所以a答案：(1)D (2)C
例2 解析：(1)由题意可得2－()x≥0，即()x≤2＝()－1，∵y＝()x为减函数，∴x≥－1.因此，函数y＝的定义域为[－1，＋∞)．故选B.
(2)因为ax＋1＞()5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(1)B (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D.
(2)不等式()x－4≥3－2x即34－x≥3－2x，
由于y＝3x在R上单调递增，所以4－x≥－2x，x≥－4，
所以不等式的解集为[－4，＋∞)．
答案：(1)D (2)见解析
例3 解析：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，可得∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，
令x＝0，可得f(0)＝＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，此时满足f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
所以a＝1.
(2)f(x)在R上单调递增；
理由如下：因为f(x)＝＝1－，
函数y＝3x＋1单调递增，函数y＝1－在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝1－在R上单调递增．
(3)因为f(x)为奇函数，可得f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2)，
又f(x)在R上单调递增，所以t2－2t<1－2t2，
解得－所以原不等式的解集为.
跟踪训练3 解析：(1)当a＝2，b＝时，f(x)＝.
又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)＝2＋＝f(－1)＝＋2m，所以m＝1.
此时f(x)＝2x＋()x，则f(－x)＝()x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，符合题意．
综上，m＝1.
(2)当a＝4，b＝2时，f(x)＝4x＋m·2x.
令t＝2x>0，则g(t)＝t2＋mt在(0，＋∞)上有最小值，所以－>0，得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
[随堂练习]
1．解析：因为b＝40.37＝(22)0.37＝20.74，c＝()－1.8＝21.8，函数y＝2x在R上为增函数，所以20.7<20.74<21.8，即a答案：A
2．解析：要使得函数y＝有意义，则3x－9≥0，3x≥9，3x≥32，解得x≥2.故函数的定义域为[2，＋∞)．故选D.
答案：D
3．解析：因为函数y＝()x是减函数，且()4a＋2<()8－3a，所以4a＋2>8－3a，解得a>，即实数a的取值范围是(，＋∞)．故选D.
答案：D
4．解析：因为函数f(x)＝(a>0，且a≠1)为偶函数，所以f(－x)＝＝＝，则有2x＝a2x，所以a＝.
答案：