2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性2.1.1不等关系与不等式课件新人教A版必修第一册

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第1课时　不等关系与不等式预学案共学案预学案一、不等关系与不等式❶(1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和________，常用________来研究含有不等关系的问题．(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或________，以表示不等关系．“a≠b”应包含“a>b”或“a”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a0a－b＝0a－b<0差【即时练习】　已知M＝x2＋5x＋6，N＝2x2＋5x＋8，则M，N的大小关系是________．M0，所以M2 200解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．题型 2 作差法比较大小【问题探究2】　在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？   提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.例2　比较下列各组中代数式的大小．(1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0；(2)2a2＋2b2与(a＋b)2.解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)．(2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.题后师说用作差法比较两个实数大小的一般步骤跟踪训练2　已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2.∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．题型 3 重要不等式【问题探究3】　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 例3　已知a>0，b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.学霸笔记：比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．跟踪训练3　已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．随堂练习1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72 000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　)A．a＋b＋c<130且abc<72 000B．a＋b＋c>130且abc>72 000C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000答案：C解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200答案：A解析：由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200.故选A.3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关答案：A 4．若实数a≥b，则a2－ab________ba－b2(填“≥”或“≤”)． ≥解析：因为a≥b，所以a－b≥0，所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2.课堂小结1.用不等式(组)表示不等关系．2．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法．3．重要不等式∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab的应用．