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数学人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词课文ppt课件
展开一、命题的否定❶一般地,对一个命题进行______,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.微点拨❶一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
【即时练习】 “空集是任何集合的真子集”的否定为________________________.
空集不是任何集合的真子集
二、全称量词命题的否定❷对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:______________.也就是说,全称量词命题的否定是_____________.
微点拨❷(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时,既要改变全称量词,又要否定结论,所以找出全称量词,明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键.(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定,一般要先改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定.
【即时练习】 命题p:“∀x∈Q,有x2∈Q”的否定形式¬p为( )A.∀x∉Q,有x2∉QB.∀x∈Q,有x2∉QC.∃x∉Q,使x2∉QD.∃x∈Q,使x2∉Q
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题得:命题p:“∀x∈Q,有x2∈Q”的否定形式¬p为∃x∈Q,使x2∉Q,故选D.
三、存在量词命题的否定❸对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:____________.也就是说,存在量词命题的否定是_____________.微点拨❸存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时,既要改变存在量词,又要否定结论,所以找出存在量词,明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键.
【即时练习】 命题p:∃x∈R,x2-x+1=0的否定为( )A.∀x∈R,x2-x+1=0B.∀x∈R,x2-x+1≠0C.∃x∈R,x2-x+1≠0D.∃x∉R,x2-x+1≠0,
解析:命题p:∃x∈R,x2-x+1=0的否定为∀x∈R,x2-x+1≠0.故选B.
【学习目标】 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
题型 1 全称量词命题的否定【问题探究1】 写出下列命题的否定:(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;(3)∀x∈R,x+|x|≥0.它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:上面三个命题都是全称量词命题,即具有“∀x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x+|x|≥0”,也就是说,∃x∈R,x+|x|<0.从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题真假.(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)三角形的两边之和大于第三边;(3)∀m>0,方程x2+x-m=0有实数根.
解析:(1)命题的否定:有些矩形不是平行四边形.它为假命题.(2)“三角形的两边之和大于第三边”可改写为“任意三角形的两边之和都大于第三边”,故它的否定是“存在一个三角形的两边之和不大于第三边”.它为假命题.(3)命题的否定:∃m>0,方程x2+x-m=0没有实数根.它为假命题.
学霸笔记:(1)全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,¬p(x).(2)全称量词命题的否定是存在量词命题时,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 (1)设命题p:所有的等边三角形都是等腰三角形,则p的否定为( )A.所有的等边三角形都不是等腰三角形B.有的等边三角形不是等腰三角形C.有的等腰三角形不是等边三角形D.不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
解析:因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p的否定为:有的等边三角形不是等腰三角形.故选B.
(2)若命题p:∀x∈R,x2>0,则命题p的否定是( )A.∀x∈R,x2≤0 B.∃x∈R,x2≤0C.∃x∈R,x2>0 D.∀x∉R,x2≤0
解析:全称量词命题的否定是存在量词命题,命题p的否定是:∃x∈R,x2≤0.故选B.
(3)若命题p:∀x>0,x2+x-1>0,则p的否定形式为________________.
∃x>0,x2+x-1≤0
解析:根据全称量词命题的否定形式,命题p:∀x>0,x2+x-1>0的否定为:∃x>0,x2+x-1≤0.
题型 2 存在量词命题的否定【问题探究2】 写出下列命题的否定:(1)存在一个实数的绝对值是正数;(2)有些平行四边形是菱形;(3)∃x∈R,x2-2x+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化?
提示:这三个命题都是存在量词命题,即具有“∃x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;命题(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x+3=0”,也就是说,∀x∈R,x2-2x+3≠0.从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题真假.(1)实数的绝对值是非负数;(2)矩形的对角线相等;(3)∃x∈R,x2+1<0.
解析:(1)命题“实数的绝对值是非负数”可改写成“所有实数的绝对值都是非负数”,所以它的否定为“存在一个实数,它的绝对值不是非负数”.它为假命题;(2)命题“矩形的对角线相等”可改写成“所有矩形的对角线都相等”,所以它的否定为“存在一个矩形,它的对角线不相等”.它为假命题;(3)命题的否定是“∀x∈R,x2+1≥0”.它为真命题.
学霸笔记:(1)存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词,即∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M,¬p(x).(2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练2 (1)命题“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定形式是( )A.任何一个三角形,它的内角和不大于180°B.存在一个三角形,它的内角和大于180°C.任何一个三角形,它的内角和不小于180°D.存在一个三角形,它的内角和不小于180°
解析:由题意得“存在一个三角形,它的内角和小于180°”的否定是“任何一个三角形,它的内角和不小于180°”,故选C.
(2)命题“∃x≥3,x2-2x+3<0”的否定是( )A.∀x≥3,x2-2x+3>0B.∀x≥3,x2-2x+3≥0C.∃x<3,x2-2x+3≥0D.∀x<3,x2-2x+3≥0
解析:因为命题“∃x≥3,x2-2x+3<0”为存在量词命题,所以其否定为:∀x≥3,x2-2x+3≥0.故选B.
(3)命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是________________.
∀x∈R,x2+1≤3x
解析:“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是∀x∈R,x2+1≤3x.
题型 3 含有量词命题的否定的应用例3 若“∃x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,求实数m的取值范围.
解析:因为“∃x∈R,x2+2x+2=m”的否定是假命题,所以“∃x∈R,x2+2x+2=m”是真命题,因此关于x的方程x2+2x+2-m=0有实根,所以Δ=22-4×1×(2-m)≥0,解得m≥1.因此实数m的取值范围是{m|m≥1}.
学霸笔记:(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化.(2)求参数范围问题,通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围.
跟踪训练3 命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
解析:因为命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>a有2x+a>3a,所以3a≥3,解得a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
随堂练习1.命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是( )A.存在实数x,使得3x+5<0B.对任意一个实数x,都有3x+5≤0C.存在实数x,使得3x+5≤0D.对任意一个实数x,都有3x+5<0
解析:命题“对任意一个实数x,都有3x+5≥0”的否定是:存在实数x,使得3x+5<0.故选A.
2.命题“∃x∈R,x2≠1”的否定是( )A.∀x∈R,x2=1 B.∀x∉R,x2=1C.∃x∈R,x2=1 D.∃x∉R,x2=1
解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,可知命题“∃x∈R,x2≠1”的否定是“∀x∈R,x2=1”.故选A.
3.下列说法正确的是( )A.命题“∀n∈N,n∈Z”是假命题B.命题“∀n∈N,n∈Z”的否定是“∃n∈N,n∈Z”C.命题“∃x∈R,x-1<0”是真命题D.命题“∃x∈R,x-1<0”的否定是“∀x∈R,x-1>0”
解析:A选项,自然数都是整数,所以命题“∀n∈N,n∈Z”是真命题,A选项错误.B选项,命题“∀n∈N,n∈Z”的否定是“∃n∈N,n∉Z”,B选项错误.C选项,当x=0时,x-1=-1<0,所以“∃x∈R,x-1<0”是真命题,C选项正确.D选项,命题“∃x∈R,x-1<0”的否定是“∀x∈R,x-1≥0”,D选项错误.故选C.
4.用符号语言表示命题:对于所有的正实数x,满足x2-x+1=0:________________;该命题的否定为:________________.
∀x>0,x2-x+1=0
∃x>0,x2-x+1≠0
解析:用符号语言表示原命题为:∀x>0,x2-x+1=0,该命题的否定为:∃x>0,x2-x+1≠0.
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