人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

01　　基础题

知识点1　利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．(钦州中考)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(A)

A．－10            B．10             C．－16                  D．16

2．(怀化中考)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是(D)

A．2                B．－2            C．4                   D．－3

3．(凉山中考)已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D)

A．－            B.                  C．－                 D.

4．(眉山中考)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是－4．

5．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)x1＋x2；

解：x1＋x2＝3.

(2)x1x2；

解：x1x2＝－1.

(3)x＋x；

解：x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2

＝32－2×(－1)

＝11.

(4)＋；

解：＋＝＝＝－3.

(5)(x1－1)(x2－1)；

解：(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1

＝－1－3＋1

＝－3.

(6)＋.

解：＋＝

＝

＝－11.

知识点2　利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

6．(雅安中考)已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)

A．1                          B．2

C．3                          D．4

7．(新疆中考)已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是(A)

A．－3               B．－2              C．3                 D．6

8．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p，q的值分别为4，3．

9．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.

(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根分别为x1，x2，且满足＋＝－，求m的值．

解：(1)证明：∵a＝1，b＝4m＋1，c＝2m－1，

∴Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)

＝16m2＋8m＋1－8m＋4

＝16m2＋5.

∵16m2≥0，

∴Δ＞0.

∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

(2)根据题意，得x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，

∵＋＝－，

∴＝－.

∴＝－，

∴m＝－.

易错点　忽视隐含条件

10．若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两个根互为倒数，求a的值．

解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．

由根与系数的关系，得a2＝1．

解得a＝±1．

当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1．所以a＝－1．

02　　中档题

11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)

A．x2＋2x－4＝0                B．x2－4x＋4＝0

C．x2＋4x＋10＝0               D．x2＋4x－5＝0

12．(烟台中考)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(D)

A．－1或2                    B．1或－2

C．－2                        D．1

13．(达州中考)设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝2__016．

14．在解某个关于x的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x2－10x＋9＝0．

15．已知实数m，n满足3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，且m≠n，则＋＝－．

16．(十堰中考)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)若x1，x2满足x＋x＝16＋x1x2，求实数k的值．

解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，

∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，

解得k≤.

∴实数k的取值范围为k≤.

(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，

∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.

∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，

∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，

解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．

∴实数k的值为－2.

17．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.

(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

解：(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4(4k－3)＝4k2－12k＋13＝(2k－3)2＋4.

∵(2k－3)2≥0，

∴(2k－3)2＋4＞0，即Δ＞0，

∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．

(2)∵b，c是方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0的两个根，

∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.

∵a2＝b2＋c2，a＝，

∴k2－k－6＝0.

∴k1＝3，k2＝－2.

∵b，c均为正数，

∴4k－3＞0.

∴k＝3.此时原方程为x2－7x＋9＝0，

∴b＋c＝7.

∴△ABC的周长为7＋.

03　　综合题

18．(换元思想)阅读材料：

材料1　若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

材料2　已知实数m、n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，求＋的值．

解：由题知m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m＋n＝1，mn＝－1.

∴＋＝＝＝＝－3.

根据上述材料解决下面的问题：

(1)一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝－3；

(2)已知实数m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，求m2n＋mn2的值；

(3)已知实数p，q满足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，求p2＋4q2的值．

解：(2)∵m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，

∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的两实数根．

∴m＋n＝1，mn＝－.

∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－×1＝－.

(3)设t＝2q，代入2q2＝3q＋1化简为t2＝3t＋2，

则p与t(即2q)为方程x2－3x－2＝0的两实数根，

∴p＋2q＝3，p·2q＝－2，

∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.