数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步测试题

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1.(2021江苏盐城中考)设x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1+x2的值为              (　　)

A.-2　　　　B.-3　　　　C.2　　　　D.3

2.(2023河北石家庄桥西期末)已知2是关于x的一元二次方程x2-6x+c=0的一个根,则另一个根是              (　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.8

3.(2021广西玉林中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则              (　　)

A.x1+x2<0　　　　B.x1x2<0　　　　C.x1x2>-1　　　　D.x1x2<1

4.(2021广西贵港中考)已知关于x的一元二次方程x2-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2,且=5,则k的值是              (　　)

A.-2　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.1

5.(2021贵州遵义中考)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根分别是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根分别是5,-4,则原来的方程是              (　　)

A.x2+2x-3=0　　　　B.x2+2x-20=0　　　　

C.x2-2x-20=0　　　　D.x2-2x-3=0

二、填空题

6.(2022湖南娄底中考)已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=　　　　. 

7.(2021黑龙江绥化中考)已知m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根,则=　　　　. 

8.(2023山东菏泽东明期末)若一元二次方程x2+2x-2 025=0的两个根分别为m,n,则代数式m2+3m+n的值为　　　　. 

三、解答题

9.(2023湖北恩施州月考)已知方程x2-3x+1=0的两个根分别为x1和x2,不解方程,求下列各式的值:

(1)(x1-1)(x2-1);

(2).

10.(2022北京海淀期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.

(1)求证:该方程总有两个实数根;

(2)若m<0,且该方程的两个实数根的差为3,求m的值.

答案全解全析

1.答案　C　在一元二次方程x2-2x-3=0中,a=1,b=-2,∴x1+x2=-=2.故选C.

2.答案　C　设方程的另一个根是x1,∵2是关于x的一元二次方程x2-6x+c=0的一个根,∴2+x1=6,∴x1=4,∴该方程的另一个根是4.故选C.

3.答案　D　根据题意得x1+x2=2,Δ=(-2)2-4m>0,解得m<1,所以x1x2=m<1.故选D.

4.答案　D　∵关于x的一元二次方程x2-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=k,x1x2=k-3.∵=5,∴(x1+x2)2-2x1x2=5,∴k2-2(k-3)=5,整理得k2-2k+1=0,解得k1=k2=1.故选D.

5.答案　B　设此方程的两个根分别是α,β,根据题意得α+β=-p=-3+1=-2,αβ=q=5×(-4)=-20,∴p=2,∴以α,β为根的一元二次方程是x2+2x-20=0.故选B.

6.答案　-1

解析　∵方程x2+x-1=0中的a=1,c=-1,∴x1x2==-1.

7.答案　-

解析　∵m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根,∴m+n=3,mn=-2,∴.

8.答案　2 023

解析　∵一元二次方程x2+2x-2 025=0的两根分别为m,n,∴m+n=-2,m2+2m-2 025=0,即m2+2m=2 025,∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2 025-2=2 023.

9.解析　(1)由题意知x1+x2=3,x1x2=1.

(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1-3+1=-1.

(2)

=

=,

∵x1+x2=3,x1x2=1,

∴=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×1=7,

∴=2.

10.解析　(1)证明:∵Δ=(2-m)2-4×1×(1-m)=m2≥0,

∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根,

即该方程总有两个实数根.

(2)设该方程的较大的实数根为x1,较小的实数根为x2,

依题意,得x1-x2=3,x1+x2=m-2,x1x2=1-m,

∵(x1-x2)2+4x1x2=(x1+x2)2,

∴32+4(1-m)=(m-2)2,

整理,得m2=9,

解得m=3或m=-3,

∵m<0,

∴m=-3.