【精品导学案】人教版 九年级上册数学21.2.4解一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系导学案（含答案）

学习目标

1、理解并掌握根与系数关系：；

2、会用根与系数的关系求代数式的值；

3、能应用根与系数的关系求待定系数；

4、会用根的判别式及根与系数关系解题.

复习引入

解下列方程，并填写表

观察上面的表格，你能得到什么结论？

从表格中可以看出一元二次方程的二次项系数都为1，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.

探索新知

【探究】 根与系数关系：

（1）关于x的方程x2+px+q=0(p、q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

x1+x2=-p， x1x2=q.

（2）形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系？能证明你的猜想吗？

归纳：可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)

∵

 ∴

 ∴，

对于这个结论我们又应该如何证明呢？

证明：∵ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时根为：

x=

     设x1=，x2=，

∴x1+x2=+=-=-；

 x1x2=·===；

思考：

(1)你认为什么是根与系数的关系？

根与系数的关系：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=-， x1x2=.

(2)运用根与系数的关系要注意些什么？

     注意：△≥0；公式中x1+x2=-的负号与b的符号的区别；

尝试应用

1、若x1，x2是方程2x2+2x-5=0的两个根，试求下列各式的值：

 (1) x1+x2；      (2)  x1x2；     （3）.  

 【分析】首先要确定a、b、c的值，计算出根的判别式的值，确定方程有无实数根，然后再由根与系数的关系得到两根之和、两根的积；

【解析】a=2,b=2,c=-5,  △=22-4×2×（-5）=44>0,所以(1)x1+x2=-=-1；(2)x1x2==-；

(3)==；

【点评】本题主要是考查了得根与系数的关系来求与已知方程的根有关的代数式的值，关键是要先确定方程是否有实数根，只有在方程有实数根的情况下才能应用，否则不能应用.

【总结】应用根与系数关系解题的一般步骤：

      （1）确定方程中a、b、c的值

      （2）确定△的值(△≥0时可用根与系数的关系)

      （3）由条件确定出两根的和以及两根的积 

      （4）将所要求的代数式进行适当的变形,然后代入求值即可

2、若x1，x2是方程5x-1=4x2的两个根，试求下列各式的值：

 (1) x1+x2；      (2)  x1x2；  

【分析】首先要确定a、b、c的值，计算出根的判别式的值，确定方程有无实数根，然后再由根与系数的关系得到两根之和、两根的积；

【解析】方程化为4x2-5x+1=0，  a=4,b=-5,c=1,  △=（-5）2-4×4×1=9>0,所以(1)x1+x2=-=；(2)x1x2==；

完成跟踪练习（见PPT）

归纳小结 

（一）这节课我们学到了什么？     （二）你认为应该注意什么问题？

作业布置：完成课后练习.