初中21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后作业题

这是一份初中21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后作业题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(　　)
A.-4 B.2
C.4 D.-3
2.已知x1,x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根,则x1＋x2－x1x2的值是 ( )
A.3 B.1
C.－1 D.－3
3.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为1,则另一个根为 ( )
A.－4 B.－3
C.2 D.4
4.若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0,则这个方程的另一个根是 ( )
A.12 B.－12
C.1 D.－1
5.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0,它的两根之和为－2,则c的值是 ( )
A.4 B.2
C.－2 D.－4
6.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0,它的两根之积为－4,则k的值为 ( )
A.4 B.－3
C.－4 D.－5
7.设m,n分别为一元二次方程4x2＋2x－1＝0的两个实数根,则m＋n＋mn的值为 ( )
A.－34 B.－12
C.12 D.34
8.设a,b是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个根,则a2＋2a－3b的值为 ( )
A.－18 B.－12
C.12 D.18
9.已知α,β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根,则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
10.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
11.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
12.关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是(　　)
A.-2 B.2
C.-5 D.5
13.若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数,则a的值为 ( )
A.2 B.0
C.1 D.2或0
14.设a,b是方程x2－8x＋4＝0的两个根,则a＋b的值为 ( )
A.18 B.6
C.23 D.±23
15.(2019·包头)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34 B．30
C．30或34 D．30或36
16.(中考·贵港)若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
二、填空题
17.方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当______________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝________，x1x2＝________．
运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根，即____________．
18.已知－5是一元二次方程x2＋mx－10＝0的一个根,则方程的另一个根是　　. 
19.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根,且满足x1＋x2＝m2,则m的值是　　. 
20.对于任意实数a,b,定义:a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m,n,则m2＋n2＝　　. 
21.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为　　. 
22.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是　　. 
三、解答题
23.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－5＝0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.



24.若x1,x2是方程x2＋2x－2021＝0的两个根,不解方程,试求下列各式的值:
(1)x1＋x2;
(2)x1x2;
(3)x12＋x22;
(4)1x1＋1x2.




25.已知x2+3x=4,y2+3y=4(x≠y),求yx+xy的值.






26.已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋m2－2m＝0的两实数根为x1,x2,且x12＋x22＝10,求m的值.






27.已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.







28.已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.







29．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长是5.
(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．







30.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?













31.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-274=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.


参考答案
一、选择题
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(　A　)
A.-4 B.2
C.4 D.-3
2.已知x1,x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根,则x1＋x2－x1x2的值是 (A)
A.3 B.1
C.－1 D.－3
3.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为1,则另一个根为 (A)
A.－4 B.－3
C.2 D.4
4.若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0,则这个方程的另一个根是 (B)
A.12 B.－12
C.1 D.－1
5.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0,它的两根之和为－2,则c的值是 (B)
A.4 B.2
C.－2 D.－4
6.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0,它的两根之积为－4,则k的值为 (D)
A.4 B.－3
C.－4 D.－5
7.设m,n分别为一元二次方程4x2＋2x－1＝0的两个实数根,则m＋n＋mn的值为 (A)
A.－34 B.－12
C.12 D.34
8.设a,b是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个根,则a2＋2a－3b的值为 (D)
A.－18 B.－12
C.12 D.18
9.已知α,β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根,则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为 (D)
A.1 B.2
C.3 D.4
10.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　B　)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
11.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　B　)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
12.关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是(　D　)
A.-2 B.2
C.-5 D.5
13.若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数,则a的值为 (B)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
14.设a,b是方程x2－8x＋4＝0的两个根,则a＋b的值为 (C)
A.18 B.6
C.23 D.±23
15.(2019·包头)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34 B．30
C．30或34 D．30或36
【点拨】情况一：当a＝4时，b<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋b＝12. ∴b＝8，不符合题意．
情况二：当b＝4时，a<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋a＝12.
∴a＝8，不符合题意．
情况三：当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴a＋b＝12.
∴a＝b＝6. ∴m＋2＝36. ∴m＝34.
【答案】A
16.(中考·贵港)若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
【点拨】∵a，b为方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根，∴a＋b＝3，ab＝p.
∵a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝32－3p＝18，∴p＝－3.
∴＋＝＝＝－2＝－2＝－5.
【答案】D
二、填空题
17.方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当___ b2－4ac≥0___________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝_－_______，x1x2＝________．
运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根，即___b2－4ac≥0_________．
18.已知－5是一元二次方程x2＋mx－10＝0的一个根,则方程的另一个根是　2　. 
19.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根,且满足x1＋x2＝m2,则m的值是　3　. 
20.对于任意实数a,b,定义:a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m,n,则m2＋n2＝　6　. 
21.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为　1　. 
22.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是　4　. 
三、解答题
23.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－5＝0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
解:将x＝1代入方程得,1＋a＋a－5＝0,
解得a＝2.
由根与系数的关系可知,该方程的另一个根为－3.
24.若x1,x2是方程x2＋2x－2021＝0的两个根,不解方程,试求下列各式的值:
(1)x1＋x2;
解:x1＋x2＝－2.
(2)x1x2;
解:x1x2＝－2021.
(3)x12＋x22;
解:x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4046.
(4)1x1＋1x2.
解:1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝22021.
25.已知x2+3x=4,y2+3y=4(x≠y),求yx+xy的值.
解:∵x2+3x=4,y2+3y=4(x≠y),
∴x,y可看作方程t2+3t-4=0的两个根,
∴x+y=-3,xy=-4,∴yx+xy=(x+y)2-2xyxy=(-3)2-2×(-4)-4=-174.
26.已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋m2－2m＝0的两实数根为x1,x2,且x12＋x22＝10,求m的值.
解:由题意可知Δ＝(2m－2)2－4(m2－2m)＝4>0,
∴无论m取任何值,方程有两个不相等的实数根.
∵x1＋x2＝2m－2,x1x2＝m2－2m,
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10,
∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10,
∴m2－2m－3＝0,
∴m＝－1或m＝3.
27.已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
解:(1)由题意得Δ＝(2m)2－4(m＋1)(m－3)＝8m＋12,要使方程有两个不相等的实数根,需要Δ>0,即8m＋12>0,解得m>－32且m≠－1.
(2)由题意得两根之和为－2mm＋1,两根之积为m-3m＋1.
∵方程有一个根为零,∴m－3＝0,解得m＝3,
∴另一个根为x＝－2mm＋1,∴x＝－32.
28.已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,
即(2k－3)2－4(k－1)(k＋1)>0,解得k<1312.
又∵此方程为一元二次方程,∴k－1≠0,即k≠1,
∴k的取值范围是k<1312且k≠1.
(2)不存在.
理由:若存在,由根与系数关系有x1＋x2＝－2k-3k-1＝0,
解得k＝32>1312,
故不存在实数k,使方程的两实根互为相反数.
29．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长是5.
(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
解：∵Δ＝[－(2k＋3)]2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根．
设方程的两根(即AB，AC的长)为x1，x2.
根据题意，得x1＋x2＝2k＋3，x1 x2＝k2＋3k＋2.
又∵x＋x＝25，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25，
解得k1＝2，k2＝－5.
当k＝－5时，方程的两根均为负数，不符合题意，舍去．
∴k＝2.
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
解：由(1)知方程有两个不相等的实数根，
∴BC＝5一定是腰长，即方程有一根为5.
将x＝5代入方程，得25－5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0，
解得k＝3或k＝4.
故当k的值为3或4时，△ABC是等腰三角形．
当k＝3时，x1＋x2＝2k＋3＝9，△ABC的周长为9＋5＝14；
当k＝4时，x1＋x2＝2k＋3＝11，△ABC的周长为11＋5＝16.
30.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
解:(1)由题意得Δ>0,
∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0,解得k<－114.
(2)令方程的两根分别为x1,x2,
∴x1＋x2＝1－2k,x1x2＝k2＋3.
∵此方程的两个根分别是直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5,
∴x12＋x22＝52,∴(x1＋x2)2－2x1x2＝25,
∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25,即k2－2k－15＝0,
解得k1＝5,k2＝－3.∵k<－114,∴k＝－3.
把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0,
解得x1＝3,x2＝4,
∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.
31.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-274=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
解:(1)不是.
理由:解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4.
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.
∵3.5不是整数,∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.
(2)存在.
理由:∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是“偶系二次方程”,∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.
∵x2=0是“偶系二次方程”,∴n=0,∴m=-34,
∴c=-34b2.
∵x2+3x-274=0是“偶系二次方程”,
当b=3时,c=-34×32=-274.∴可设c=-34b2.
对于任意一个整数b,c=-34b2时,Δ=b2-4ac=4b2.
x=-b±2b2,∴x1=-32b,x2=12b,∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,当c=-34b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”.