第23章 图形的相似 华师大版九年级数学上册单元测试(含解析)

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华师大版九年级数学上册单元测试第23章图形的相似一、选择题（每题3分，共24分）1．已知三条线段的长分别为3，4，6，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是                                                （   ）A．2 B．4.5 C．5 D．82．若，，则的值为                  （   ）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为 （　　）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DEAB），那么小管口径DE的长度是                                         （  ）A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米5．如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是                      （　　）A．5 B．7.5 C．9 D．106．如图，在平行四边形ABCD中，AE=6，EF=3，BG⊥AE，垂足为G，若BG=8，则△EFC的面积是                                    （　　）A．12 B．6 C．8 D．107．如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与，，，，分别交于点，，，，，设，，的面积依次为，，．若，则的值为                  （   ）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是                 （   ）A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分）9．若2a-3b=0，则___________．10．已知，，，则的周长之比为____．11．若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．12．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________．13．如图，已知＝，AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，则AC＝______ cm．14．如图，在ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且，则___________．15．如图，，若 AC  8 ， BD  12 ，则 EF ___________．16．现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝_____米． 三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．18．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝8，BC＝24，CD＝18，AD＝6，求AE、BE的长．19．如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB＝4，AD＝6．求点A到直线DE的距离．20．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．22．已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．(1)如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；(2)若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；23．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．(1)求证：CH＝BE；(2)如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；(3)设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．24．在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．(1)如图1，若AE=AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的长；(2)如图2，若AE=BC且F为EC中点，求证：∠AFD=∠C；(3)若2∠AED-∠C=180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．25．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
参考答案：1．解：A、∵2×6=3×4，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；B、∵3×6=4×4.5，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意；C、∵3×6≠4×5，∴四条线段不能组成比例线段，故选项符合题意；D、∵3×8=4×6，∴四条线段能组成比例线段，故选项不符合题意．故选：C．2．解：设，则，，，，即，，，故选：D．3．解：∵abc，∴＝，∵DE＝2EF，AC＝6，∴＝2，解得：AB＝4，故选：C．4．∵DEAB，∴△CDE∽△CAB，∴，即，解得：DE=，故选B．5．解：∵点G是△ABC的重心，∴BG＝2GE，∵BE＝BG+GE＝15，∴BG＝10，故选：D．6．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F=∠BAE，∵∠FEC=∠AEB，∴△EFC∽△EAB，∴；∵BG⊥AE，BG=8，∴，∴，故选：B．7．解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，∴，∴∠AED=∠EGF=∠GBH，∴∠DEF=∠FGH=∠HBC，∵FEHGBC，∴∠AQE=∠AMG=∠ACB，∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，∵QEMG，∴△AEQ∽△AGM，∴∵MGCB，∴△AGM∽△ABC，∴则∵∴∴，故选D．8．解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，∴在Rt△DCE中，，∴，解得，∵DF⊥AF，∴，∴，而AD=AB=3，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐标为．故选：D．9．解：∵2a-3b=0，∴2a=3b，即，∴．故答案为：310．解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．11．解：设线段a，b的比例中项是xcm，∵a＝4cm，b＝9cm，∴，∴x=6cm．故答案为：612．解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2），∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称，∴△PQR和△ABC关于原点对称．∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点，∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）．故答案为：（﹣x，﹣y）．13．解：∵＝，且AD＝6 cm，DB＝4 cm，EC＝4 cm，∴＝，∴AE＝6cm，∴AC＝AE＋EC＝6＋4＝10cm，故答案为：10．14．解：如图所示，平行四边形，过点作交于点，交于点，，，∴，∴，，，∴，∴， ∴，，∴，则，∵，，∴，∴，故答案是：．15．解：∵，∴△BEF∽△BCA，∴，∵，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，即，∴，∵AC  8 ， BD  12 ，∴，解得：．故答案为：16．解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，∴，∴，，∴△AOH∽△ABN，∴，即①，同理可得：△BOH∽△BAM，∴，即②，①+②，得，∴OH=1.2（米），故答案为：1.2．17．证明：AD＝1，AB＝3，AC＝，      又 ∽18．解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵DE=8，BC=24，CD=18，AD=6，∴AC=AD+CD=24，∴AE=8，AB=18，∴BE=AB-AE=10．19．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∵点E为BC的中点，∴CE＝3，由勾股定理得，，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠DFA＝∠C，∴，∴，∴，∴AF＝，即点A到直线DE的距离为．20．解：△PMN是等腰三角形，理由如下：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM是△DBC的中位线，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．21．解：在中， ，，由勾股定理得：，∴，根据题意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，∴，∴，∵，，∴，解得：，∵，∴．22． （1）∵四边形ABCD是矩形，∴．由折叠的性质可知，∴，∴，∴，∴△PDA∽△OCP；（2）∵，△PDA∽△OCP，∴，即，∴．设，则，由折叠可知，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，∴．23． （1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DHBC，∴，∴GC＝2GH，设GH＝x，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝；（3）解：当的值为时，则，∵DH＝CE，DC＝BC，，∵DHBC，，，设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．24． （1）证明：取AC的中点G，连接DG，（如图1）∵D为AB的中点，∴DG为△ACB的中位线，∴DG=BC=1，DGBC，∵∠C=90°，∴DG⊥BC，∵AE=AC，AC=4，∴AE=1，在Rt△DGE中，DE=；（2）证明：连接BE，取BE中点M，再连接MF、MD．（如图2）∵F为EC中点，D为AB中点，∴MFBC且MF=BC，MDAB且MD=AE，∴MF=MD，∴∠MDF=∠MFD，又∵MDAE， ∴∠AFD=∠MDF，∴∠AFD=∠AFM，∵MFAC，∴∠AFM=∠ACB，∴∠AFD=∠ACB， 即：∠AFD=∠C；（3）解：AC=2AE+BC，（如图3）证明：在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM，∵AE=EM，AD=DB，∴DEBM，∴∠AED=∠AMB=∠MHC+∠MCH=90°+∠MCH，∵2∠AED-∠ACB =180°，∴∠AED=90°+∠ACB，∴∠MCH=∠ACB，∴∠ACB =2∠MCH，∴△CHM≌△CHB，∴BC=MC，∴AC=2AE+BC．25． （1）解：，，，，，点是的中点，、是的中位线，，，，故答案为：3；（2）①过点作于点，于点，如图2所示：则，四边形是矩形，，即，，，即，，，，同（1）得：，，故答案为：3；②过点作于点，于点，如图3所示：，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，与①同理得：，；（3）如图所示：在中，由勾股定理得：，，与相似分两种情况：①，则，即，整理得：，，；②，则，即，整理得：，，；综上所述，当或时，与相似；故答案为：或．