高中4.4 对数函数教案设计

4.4.2  对数函数的图象和性质

（一）教学内容 

   对数函数的图象和性质

（二）教学目标

1 掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;

2 能够用对数函数的性质去解决问题。

（三）教学重点及难点

1.教学重点

对数函数的图像、性质及其应用

2.教学难点

对数函数图像和性质与底数a的关系。

（四）教学过程设计

问题1 ：我们已经学习对数函数的概念，类比指数函数的学习过程，我们可以怎样研究对数函数？

师生活动：（1）学生思考后回答。

先作函数图象，然后根据图象研究函数性质（包括定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象的其他变化特征等方面）。

（2）追问1：如何得到对数函数的图象？

由特殊到一般的研究方法。

（3）追问2：选取哪些特殊的对数函数来研究？

（4）追问3：通过什么方法得到这个对数函数的图象？

（5）学生小组内进行讨论，上台展示。

设计意图：培养学生的能力，达到对函数概念以及指数函数的巩固的目的，并为本节课的研究理清思路。

问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如  和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

师生活动：（1）学生分组讨论思考后回答。

利用换底公式，可以得到，因为点（x,y）与（x,-y）关于x轴对称，所以图象上任意一点P（x,y）关于x轴的对称点Q（x,-y）都在的图象，反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。根据这种对称性就能利用的图象画出的图象

（2）追问1：函数以及的图象关于轴对称，可以解释吗？

利用换底公式可以解释。在函数的图象上任取一点（x1，y1），则，所以点（x1，-y1）在函数的图象上。又点（x1，y1）和点（x1，-y1）关于轴对称，所以这两个函数图象关于轴对称。

设计意图：尝试用代数的形式分析直观现象，数形结合，培养学生思维的严谨性。

问题3：我们已经得到了和的图象，如何得到的图象呢？

师生活动：（1）选取底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性。

（2）追问1：你能概括出对数函数（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？

      学生概括后展示。

设计意图：通过对特殊的对数函数图像观察，归纳出对数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养。

问题4：对数函数(a>0,且a≠1)，当底数越大时，函数图像间有什么样的关系？

师生活动：选取底数为3,4，的对数函数，画出相应的函数图象，得到结论。

对数函数(a>0,且a≠1)，当底数越大时，在第一象限的函数图像越低（底大图低）。

设计意图：让学生明确底数对对数函数图象的影响，提升直观想象和逻辑推理素养。

问题4：我们已经得到了对数函数的图象与性质，你能利用图像与性质比较两个值的大小吗？

师生活动：（1）例1 比较下面两个值的大小

⑴ ，；⑵ ，⑶ ，( a＞0 , a≠1 )

解：（1）和可以看作函数y=log 2 x 的两个函数值。

 因为a=2 > 1,函数y=log 2 x是增函数且3.4<8.5，

所以 log23.4< log28.5。

（2）和可以看作函数y=log 0.3 x  的两个函数值。

 因为a=0.3< 1, 函数y=log 0.3 x 是减函数且1.8<2.7

所以 log 0.3 1.8> log 0.3 2.7 。

（3）log a 5.1和 log a 5.9 可看作函数y=log a x的两个函值  , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论;

当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；

当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；

（2）追问1：你能总结出利用对数函数的单调性比较大小的方法吗？

归纳总结：

1、同底数时,直接利用对数函数的单调性比较大小.

2、同真数时,利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3、底数和真数都不同时,找中间值.

4、若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.

设计意图：理解对数函数的单调性的基础上，会进行自变量与函数值不等关系的相互转换。

问题5：对数函数在生活中应用广泛，你能利用对数函数解决生活的问题吗？

师生活动：完成下面的题目。

例2 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为:   其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;

(2)已知纯争水中氢离子的浓度为 摩尔/升，计算纯净水的pH值.

设计意图：进-步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识.体会数学的应用价值。

问题6：根据指数与对数间的关系，你能探究指数函数与对数函数的关系吗？

师生活动：（1）以y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）和y=log2x（ x∈（0，+∞））为例探究。

已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞））可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y  ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。

也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数 y=2x   （   x∈R） 的反函数。

     但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y  中的字母x，y，把它写成y=log2x  ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。

（2）追问1：y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax的定义域和值域有什么关系？

函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。

（3）追问2：你能总结对数函数与指数函数的区别联系吗？

设计意图：进-步熟悉对数函数与指数函数的关系。

问题7：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

1、对数函数的图象是怎样的？

2 、对数函数有哪些性质？

3 、如何利用对数函数的性质比较两个值的大小？

4、互为反函数的函数有何特点？

师生活动：老师提问同学作答。

设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。

五、目标检测设计

课堂检测

1. [2022福建连城一中高一周测]函数 （ ，且 ）的图象恒过定点( C )

A.

B.

C.

D.

[解析]当 ，即 时， ，所以定点的坐标为 .

2. [2021浙江杭州高一期末]设 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系是( C )

A.

B.

C.

D.

[解析] ， ， ，所以 .

3. 如图是三个对数函数的大致图象，则 , , 的大小关系是( D )

A.

B.

C.

D.

[解析]由题图可知 , , ，取 ,则可知 . ,故选D.

4. 若函数 （ ,且 ）的反函数的图象过点 ，则 ( B )

A.

B.

C.

D.

[解析]依题意，函数 （ ,且 ）的反函数是 ，即函数 的图象过点 ，

则 ， ，于是 ，

所以 .故选B.

5. 已知实数 ， 满足 ，则给出下面五种关系:

① ；② ；③ ；④ ；⑤ .

其中可能成立的序号为②④⑤.

[解析]由题意得，令 ， ，

在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，如图所示.

若 ，即 ，则 ；

若 ，即 ，则 ；

若 ，即 ，则 .故②④⑤成立.

课后作业

教科书第135页练习2,3

设计意图：巩固本节课的主要知识、方法。