人教版八年级上册13.1.1 轴对称单元测试当堂检测题

《第13章 轴对称》

一、选择题

1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=﹣3对称，则平面内点B的坐标为（　　）

A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）

3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（　　）

A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD

4．桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个．

A．1 B．2 C．4 D．6

5．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

二、填空题

7．把一张纸各按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=　　度．

8．如图，黑颜色的三角形与哪些图形成轴对称　　（填写序号）

9．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，则△BDC的周长是　　．

10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有　　个．

12．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是　　．

13．已知：等腰三角形的周长为50厘米，若底边长为x厘米，则x的取值范围是　　．

三、画图题

14．直线l的两旁分别有点A、B，在直线l求作一点P使|PB﹣PA|最大．

15．如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C且凉亭与长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹），并简要说明理由．

四、证明题

16．已知：如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，B、D、C三点在一条直线上，AC⊥CE，判断线段DE与AC的数量关系，并加以证明．

判断：　　

证明：

17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延长线交BC于E．

求证：AE⊥BC．

四、综合题

18．已知：AD是等腰△ABC一边上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=　　度．

19．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，点F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，比较线段BD与CE的大小，并证明你的结论．

20．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

《第13章 轴对称》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．

【解答】解：根据轴对称图形的定义：

第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．

第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

轴对称图形共有3个．

故选：C．

【点评】本题考查了轴对称与轴对称图形的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

2．已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=﹣3对称，则平面内点B的坐标为（　　）

A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）

【考点】坐标与图形变化-对称．

【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．

【解答】解：设点B的横坐标为x，

∵点A（4，3）与点B关于直线x=﹣3对称，

∴=﹣3，

解得x=﹣10，

∵点A、B关于直线x=﹣3对称，

∴点A、B的纵坐标相等，

∴点B（﹣10，3）．

故选D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．

3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（　　）

A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据AB=AC，判断出∠B=∠C=30°，从而求出∠BAC=120°，然后根据∠BAD=90°，求出∠1=30°，得到DC=AD，然后根据30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．

【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=180﹣30°×2=120°，

又∵BAD=90°，

∴∠1=120°﹣90°=30°，

∴∠1=∠C=30°，

∴DC=AD，

∵在Rt△ABD中，∠B=30°，

∴AD=BD，

则CD=BD．

∴BD=2CD．

故选B．

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形和等腰三角形的性质，知道30度的角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．

4．桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个．

A．1 B．2 C．4 D．6

【考点】生活中的轴对称现象．

【专题】应用题．

【分析】根据题意分析可得：分别找出入射点B和反射点B，看看是否符合即可．

【解答】解：

由图可知可以瞄准的点有2个．．

故选B．

【点评】本题考查轴对称图形的定义．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．解此题关键是找准入射点和反射点．

5．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（　　）

A． B． C． D．

【考点】剪纸问题．

【专题】操作型．

【分析】把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．

【解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．

【点评】考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考．

6．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（　　）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【考点】等腰三角形的判定．

【分析】根据角平分线的定义求出∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠3=∠4，根据对顶角相等可得∠5=∠4，然后求出∠3=∠5，再利用等角对等边可得CE=CF，从而得解．

【解答】解：如图，∵AF是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，

∴∠1+∠3=90°，

∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵∠5=∠4（对顶角相等），

∴∠3=∠5，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰三角形．

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，等角的余角相等的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象．

二、填空题

7．把一张纸各按图中那样折叠后，若得到∠AOB′=70°，则∠B′OG=　55　度．

【考点】角的计算．

【专题】计算题．

【分析】根据题意∠B′OG=∠BOG，根据平角和角平分线的定义即可求得．

【解答】解：由题意可得∠B′OG=∠BOG，

则∠B′OG=（180﹣∠AOB′）÷2=55°．

故答案为55．

【点评】已知折叠问题就是已知图形全等，因而得到相等的角．

8．如图，黑颜色的三角形与哪些图形成轴对称　1，3，5，7　（填写序号）

【考点】轴对称的性质．

【分析】根据轴对称的性质即可得出结论．

【解答】解：由轴对称的性质可知，黑颜色的三角形与1，3，5，7可形成轴对称图形．

故答案为：1，3，5，7．

【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．

9．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，则△BDC的周长是　14　．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而可得出结论．

【解答】解：∵DE垂直平分AC，

∴AD=CD．

∵AB=AC=8，BC=6，

∴△BDC的周长=BC+（BD+CD）=BC+（BD+AD）=BC+AB=6+8=14．

故答案为：14．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

∵DF=DE，

∴∠E=15°．

故答案为：15．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有　4　个．

【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定．

【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．

【解答】解：分二种情况进行讨论：

当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；

当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．

∴符合条件的点一共4个．

故答案为：4．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．

12．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是　8：00　．

【考点】镜面对称．

【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．

【解答】解：由图中可以看出，此时的时间为8：00．

故答案为：8：00．

【点评】考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．

13．已知：等腰三角形的周长为50厘米，若底边长为x厘米，则x的取值范围是　0＜x＜25　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】已知周长和底边，可表示腰长．根据三角形三边关系得不等式求解．

【解答】解：∵等腰三角形的周长为50，底边长为x，

∴两腰和=50﹣x．

∴50﹣x＞x＞0，

解得 0＜x＜25．

故答案是：0＜x＜25．

【点评】此题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，解题的关键是设出的底边的长表示出两腰的和，难度不大．

三、画图题

14．直线l的两旁分别有点A、B，在直线l求作一点P使|PB﹣PA|最大．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．

【解答】解：如图所示：

作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．

15．如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C且凉亭与长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹），并简要说明理由．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】工程造价最低，那么三个凉亭间的距离最短，又在直线l上，那么应作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C，点C就是所求的点．

【解答】解：三个凉亭间的距离实际相当于A'B的距离，两点之间，线段最短，所以符合题意．

【点评】涉及在同一条直线的一旁的两点与这条直线上的一点的最短路线问题，一般属于点关于直线对称问题．

四、证明题

16．已知：如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，B、D、C三点在一条直线上，AC⊥CE，判断线段DE与AC的数量关系，并加以证明．

判断：　DE=AC　

证明：

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．

【专题】探究型．

【分析】根据等边三角形的性质，由△ABC为等边三角形得到AC=BC，∠ACB=60°，则由AC⊥CE可计算出∠BCE=30°，再利用△BDE为等边三角形得到DE=BE，∠DBE=60°，于是根据三角形内角和定理可计算出∠BEC=90°，然后在Rt△BEC中利用含30度的直角三角形三边的关系可得BE=BC，所以DE=AC．

【解答】解：DE=AC．

证明如下：∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∵AC⊥CE，

∴∠ACE=90°，

∴∠BCE=90°﹣60°=30°，

∵△BDE为等边三角形，

∴DE=BE，∠DBE=60°，

∴∠BEC=180°﹣60°﹣30°=90°，

在Rt△BEC中，∵∠BCE=30°，

∴BE=BC，

∴DE=AC．

故答案为DE=AC．

【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延长线交BC于E．

求证：AE⊥BC．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】首先证明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，根据线段垂直平分线的判定可得D在BC的垂直平分线上，由AB=AC，得出A在BC的垂直平分线上，于是AD垂直平分BC，即AE⊥BC．

【解答】证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ABD=∠ACD，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACD，

即∠DBC=∠DCB，

∴DB=DC，

∴D在BC的垂直平分线上，

∵AB=AC，

∴A在BC的垂直平分线上，

∵两点确定一条直线，

∴AD垂直平分BC，

∴AE⊥BC．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，难度适中．证明出D在BC的垂直平分线上是解题的关键．

四、综合题

18．已知：AD是等腰△ABC一边上的高，且∠DAB=60°，∠ABC=　30或150　度．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由于BC为腰，则点B可为顶角的顶点，也可为底角的顶点，高AD可在三角形内部也可在三角形外部，故应分三种情况分析计算．

【解答】解：由题意得，分三种情况：

（1）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形内部，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°；

（2）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90°+∠60°=150°；

（3）当点C为顶角的顶点时，∠ABC=90°﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，

当点A为顶角的顶点时，AD在三角形内部，∠ABC=﹣∠ADB﹣∠DAB=90°﹣60°=30°，

故答案为：30或150

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质．注意分类讨论是正确解答本题的关键．

19．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，点F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，比较线段BD与CE的大小，并证明你的结论．

【考点】等腰三角形的判定与性质．

【分析】延长BF至点G，使FG=BF，连CG，证△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案．

【解答】结论：BD=CE 

证明：延长BF至点G，使FG=BF，连CG，

∵F为CD中点，

∴CF=DF，

在△GFC和△BFD中

∴△GFC≌△BFD（SAS），

∴∠CGF=∠FBD，CG=DB，

又∵∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°，

∴∠CGF=∠CEG，

∴CG=CE，

∴BD=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．

20．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】求出∠ADB=∠ADF，根据SAS证△ABD≌△FED，推出∠F=∠ABD=60°，AB=AF=AC，得出△ACF是等边三角形，推出AC=CF即可．

【解答】解：AC=BD+CD，

理由是：延长CD到F，使DF=BD，连接AF，

∵ED⊥AD，DE平分∠BDC，

∴∠ADB=90°﹣∠BDC，

∴∠ADF=180°﹣（90°﹣∠BDC）﹣∠BDC=90°﹣，

∴∠ADB=∠ADF，

在△ABD和△AFD中，，

∴△ABD≌△AFD（SAS），

∴∠F=∠ABD=60°，AB=AF，

∵AB=AC，

∴AF=AC，

∴△ACF是等边三角形，

∴AC=CF=CD+DF=BD+CD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．