人教版数学 八上 第11章 单元精练卷

人教版 数学 八上册 第11章《三角形》能力提升卷

一．选择题（共30分）

1.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　)

A．3＜x＜11         B．4＜x＜7     C．－3＜x＜11       D．x＞3

【答案】A

【解析】∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.

判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

2.若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（　　）

A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形

【答案】D

【解析】设这个多边形的边数为n，依题意得

（n﹣2）•180°＝5×360°，

解得n＝12，

∴这个多边形是十二边形，

故选D．

3．下列说法正确的是（　　）

A．三角形的三条高是三条直线 

B．直角三角形只有一条高 

C．锐角三角形的三条高都在三角形内 

D．三角形每一边上的高都小于其他两边

【答案】C

【解析】A、三角形的三条高是三条线段，本选项说法错误；

B、直角三角形有三条高，本选项说法错误；

C、锐角三角形的三条高都在三角形内，本选项说法正确；

D、三角形每一边上的高不一定都小于其他两边，本选项说法错误；

故选C．

4．在△ABC中，已知∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，∠EHF的度数是（　　）

A．50° B．40° C．130° D．120°

【答案】D

【解析】∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，

∴∠A＝60°，

∵CF是AB上的高，

∴在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠AFC﹣∠A＝30°，

在△CEH中，∠ACF＝30°，∠CEH＝90°，

∴∠EHF＝∠ACF+∠CEH＝30°+90°＝120°．

故选D．

5.现有以下说法：等边三角形是等腰三角形；三角形的两边之差大于第三边；三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（   ）

A. 1个      B. 2个      C. 3个    D. 4个

【答案】B

【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形，正确；

根据三角形的三边关系知，三角形的两边之差小于第三边，错误；

三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；

三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．

综上所述，正确的结论有2个．故选B．

6．三角形的重心是（　　）

A．三角形三条边上中线的交点 

B．三角形三条边上高线的交点 

C．三角形三条边垂直平分线的交点 

D．三角形三条内角平分线的交点

【答案】A

【解析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．三角形的重心是三条中线的交点，

故选：A

7.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（　　）

A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2

【答案】C

【解析】如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，

∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，

∵D是BD的中点，

∴S△BDE＝S△CDES△BEC＝3cm2，

∵E是AD的中点，

∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，

∴△ABC的面积为12cm2，

故选C．

8 如图,D为AC上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是 （    ）

A.DE是△BDC的中线                 B.BD是△ABC的中线

C.D是AC的中点,E是BC的中点       D.DE是△ABC的中线

【答案】D

【解析】A.点E是BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故A正确,与要求不相符;

B.因为D是△ABC的边AC的中点,所以BD是AC边的中线,故B正确,与要求不相符;

C.由D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点可知AD=DC,BE=EC,故C正确,与要求不相符;

D.由三角形的中线的定义可知DE不是△ABC的中线,故D错误,与要求相符.故选D.

9.如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°

【答案】B

【解析】连接BC．

∵∠BDC＝130°，

∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，

∵∠BGC＝100°，

∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，

∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，

∴∠GBD+∠GCD∠ABD∠ACD＝30°，

∴∠ABC+∠ACB＝110°，

∴∠A＝180°﹣110°＝70°．

故选B．

10.如图，已知长方形，连接，是上的一点，连接，，，，，分别表示，，，的面积，则下列等式不正确的是（　　　）．

A． B． C． D．

答案 ．B

【分析】根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，从而得到，，故D正确，，可得，故B错误，从而得到，可得，进而得到，可得到，故A、C正确，即可求解．

【详解】解：根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，

∴，，故D正确，不符合题意；

同理，

∴，故B错误，符合题意；

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故A、C正确，不符合题意；

故选：B

二．填空题（共24分）

11.如图，在中，平分若则　   ．

【答案】1

【解析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．

如图，作于点F，

∵平分，，，

∴，

∴．

故答案：1．

12. ．已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有           个．

答案．2

【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，

∴，

∵x为偶数，

∴x可能是8和10，

即这样的三角形有2个．

故答案为：2．

13．如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF  BC 于点 F．若，BD  4 ，则 EF 长为           ．

答案．3

【分析】因为S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．

【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，

∴S△ABD=S△ABC=12，

同理，BE是△ABD的中线，，

∵S△BDE=BD•EF，

∴BD•EF=6，

即

∴EF=3．

故答案为：3．

14.如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　   　°．

【答案】35

【解析】如图，由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，

∵∠A＝75°，∠B＝65°，

∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，

∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，

∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°．

故答案为：35．

15.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：

①AD∥BC；

②∠ACB＝∠ADB；

③∠ADC+∠ABD＝90°；

④，其中正确的结论有　      　．

【答案】①③④

【解析】①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，

∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，故①正确；

②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，

∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；

③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB

∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，

∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；

④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，

∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，

∵∠ADC+∠ABD＝90°，

∵∠DCF＝90°∠ABC＝∠DBC+∠BDC，

∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°∠BDC，故④正确；

故答案是：①③④．

16.如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，、、交于一点G，，，则的面积是         ．

答案 30

【分析】由 BD＝2DC，得 S△BDG＝2S△GDC，求出S△BEC，根据S△ABC＝2S△BEC可求出答案．

【详解】解：在△BDG和△GDC中，

∵BD＝2DC, 这两个三角形在BC边上的高线相等，

∴S△BDG＝2S△GDC，

∴S△GDC＝4.

同理S△GEC＝S△AGE＝3.

∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，

∴S△ABC＝2S△BEC＝30.

故答案为：30．

三．解答题（共66分）

17.（6分）如图所示，

（1）图中有几个三角形？

（2）说出的边和角．

（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？

（1）图中有：，，，，，共5个；

（2）的边：，，，角：，，；

（3）是，，的边；是，，的角．

【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，

以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，

再以DE为边三角形有△DEC，

一共有5个三角形分别为，，，，；

（2）的边：，，，

角：，，；

（3）是，，的边；

是，，的角．

18.（8分）．已知，，是的三边长．

(1)若，，满足，试判断的形状；

(2)化简：

答案．(1)等边三角形

(2)

（1），且，，为等边三角形；

（2），，是的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，，，，原式

19.（8分）已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数．（1）求c边的长  （2）判断△ABC的形状．

【解析】（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，

∴2＜c＜10，

∵三角形的周长是小于18的偶数，

∴2＜c＜8，

∴c＝4或6；

（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形．

20.（10分）．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．

（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；

（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．

【解析】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，

∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠ECD＝60°，

∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；

（2）证明：∵CE平分∠ACD，

∴∠ECD＝∠ACE，

∵∠BAC＝∠E+∠ACE，

∴∠BAC＝∠E+∠ECD，

∵∠ECD＝∠B+∠E，

∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，

∴∠BAC＝2∠E+∠B．

21.（10分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，

（1）求这个多边形的边数；

（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？

【解析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，

由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．

即多边形的每个外角为40°．

又∵多边形的外角和为360°，

∴多边形的外角个数9．

∴多边形的边数＝9，

答：这个多边形的边数是9；

（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，

当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；

当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；

当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．

答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．

22.（12分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．

（2）如图②，分别平分，若，求的度数．

（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．

（1）见解析；（2）；（3）

【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证；

（2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解；

（3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论．

【详解】解：（1）∵，，

∴，

∵，

∴；

（2）∵分别平分，设，，

则有，

∴，

∴

（3）∵直线平分平分的外角，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即．

23.（12分）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝2∠B．

（1）求证：ED∥BC；

（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．

①求△ABC的面积；

②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．

答案 （1）见解析；（2）①；②．

【分析】（1）根据同角的补角线段得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可得出，从而证得结论；

（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．

（3）连接，由，得到，即可得到，进一步得到．

【详解】解：（1）如图，，，

，

，

，

又，

，

；

（2）设的面积为，

是的中点，

，

，

同理，，，

，

四边形的面积为6．

，即，

；

（3）如图，连接，

，

，

，

是的中点，

．