2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.1随机变量及其与事件的联系对点练新人教B版选择性必修第二册

4．2　随机变量

4.2.1　随机变量及其与事件的联系

知识点一  随机变量的概念

1. 抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为(　　)

A．抛掷硬币的次数

B．出现正面的次数

C．出现正面或反面的次数

D．出现正面和反面的次数之和

答案　B

解析　抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选B.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．

2．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)

A．取到的球的个数

B．取到红球的个数

C．至少取到一个红球

D．至少取到一个红球或一个黑球

答案　B

解析　A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是不确定的，但不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量.

知识点二  随机变量的可能取值问题

3. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)

A．1,2,3，…，6  B．1,2,3，…，7

C．0,1,2，…，5  D．1,2，…，5

答案　B

解析　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7.

4．一个袋中有大小相同的5个钢球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中任意抽取2个球，设2个球的号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　)

A．5  B．7

C．6  D．9

答案　B

解析　任取2个球，计算其号码之和，X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝2＋3＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，共7个.

知识点三  离散型随机变量和连续型随机变量的判定

5. 下列随机变量是连续型随机变量的是(　　)

A．某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X

B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X

C．一天内的温度为X

D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分

答案　C

解析　A，B，D中的随机变量X是离散型随机变量；C中，一天内的温度X变化的范围是连续的，是一个区间，故是连续型随机变量．故选C.

6．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　)

A．某景点一天的游客数ξ

B．某报警台一天内收到的报警电话次数ξ

C．水文站观测到江水的水位数ξ

D．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ

答案　ABD

解析　由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ的所有可能取值都可以一一列出，故是离散型随机变量．C中的随机变量ξ是连续型随机变量．故选ABD.

知识点四  随机变量之间的关系

7. 已知P(X＝2)＝0.4，P(X＝－2)＝0.2，则P(|X|＝2)＝________.

答案　0.6

解析　P(|X|＝2)＝P(X＝2)＋P(X＝－2)＝0.4＋0.2＝0.6.

8．某校为学生订做校服，规定：凡身高(精确到1 cm)不超过160 cm的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱．从该校学生中任意抽取一名，设其身高为ξ(单位：cm)，应交校服费为η(单位：元)．

(1)当ξ＝170时，求η的值；

(2)写出ξ与η之间的关系式；

(3)若P(η>120)＝0.15，求P(ξ≤168)的值．

解　(1)因为170>160，所以η＝80＋5×(170－160)＝80＋50＝130(元)．

(2)η＝

(3)因为η>120⇔5ξ－720>120⇔5ξ>840⇔ξ>168，

所以P(η>120)＝P(ξ>168)＝0.15，从而P(ξ≤168)＝1－P(ξ>168)＝1－0.15＝0.85.

一、选择题

1．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是(　　)

A．取到产品的件数  B．取到正品的件数

C．取到正品的概率  D．取到次品的概率

答案　B

解析　由题意知，此试验所有可能结果为2件正品、1件正品和1件次品、2件次品．因此取到正品的件数可作为随机变量．故选B.

2．下列叙述中，是离散型随机变量的为(　　)

A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和

B．某人早晨在车站等出租车的时间

C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数

D．袋中有2个黑球和6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性

答案　C

解析　选项A，掷一枚均匀硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但取值范围是一个区间，故是连续型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.

3．从学号分别为1,2,3,4,5,6的6名同学中，随意选出2名同学去打扫卫生，设选出的2名同学的学号之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　)

A．11  B．8

C．9  D．10

答案　C

解析　易知X的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11，共9个．

4．抛掷两枚骰子，所得点数之差的绝对值为X，那么X＝4表示的随机试验的结果是(　　)

A．一枚是1点，一枚是5点

B．一枚是2点，一枚是6点

C．两枚都是2点

D．一枚是1点，一枚是5点或一枚是2点，一枚是6点

答案　D

解析　因为|5－1|＝4，|6－2|＝4，故选D.

5．(多选)甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，在甲、乙都抢到题的前提下，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值为(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

答案　ABCD

解析　甲获胜有以下可能：

X＝－1时，甲抢到1题但答错，乙抢到2题都答错．

X＝0时，甲抢到2题，但答时1对1错，乙抢到1题，且答错．

X＝1时，甲抢到1题，且答对，乙抢到2题，都答错或1对1错．

X＝2时，甲抢到2题均答对，乙抢到1题答错或答对．

所以X＝－1,0,1,2，故选ABCD.

二、填空题

6．已知：①某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；②将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数X；③某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；④某人上班路上所花的时间X.其中是离散型随机变量的是________，是连续型随机变量的是________．

答案　②③　①④

解析　①④中随机变量X的变化范围是连续的，是一个区间，故是连续型随机变量；②③中随机变量X的所有可能取值都可以一一列举出来，故是离散型随机变量．

7．已知一个盒中装有3个红球和3个黑球，从中随机抽取4个球，设其中所含黑球的个数为X，若X的所有可能取值的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝________.

答案　4

解析　由题意知X的所有可能取值为1,2,3，最大值a＝3，最小值b＝1，故a＋b＝4.

8．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能取值为________．

答案　－5≤ξ≤5，ξ∈Z

解析　ξ的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，即－5≤ξ≤5，ξ∈Z.

三、解答题

9．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.写出下列随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．

解　因为x，y可能取的值为1,2,3，

所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，

所以0≤ξ≤3，

所以ξ可能的取值为0,1,2,3，

用(x，y)表示第一次抽到卡片的标号为x，

第二次抽到卡片的标号为y，

则随机变量ξ取各值的意义为：

ξ＝0表示两次抽到卡片的标号都是2，即(2,2)．

ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)．

ξ＝2表示(1,2)，(3,2)．

ξ＝3表示(1,3)，(3,1)．

10．某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪600元，每工作1 h再获取30元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元．

(1)当X＝70时，求Y的值；

(2)写出X与Y之间的关系式；

(3)若P(Y>3000)＝0.4，求P(X≤80)的值．

解　(1)当X＝70时，表示工作了70个小时，所以Y＝70×30＋600＝2700.

(2)根据题意有Y＝30X＋600.

(3)因为Y>3000⇔30X＋600>3000⇔X>80，

所以P(X>80)＝P(Y>3000)＝0.4，

从而P(X≤80)＝1－P(X>80)＝1－0.4＝0.6.