2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值对点练新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值对点练新人教B版选择性必修第二册，共8页。
4．2.4　随机变量的数字特征第1课时　离散型随机变量的均值知识点一  离散型随机变量的均值1. 已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝(　　)A．  B．2 C．  D．3答案　A解析　由已知条件可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A.2．某一离散型随机变量的分布列为ξ0123P0.1ab0.1且E(ξ)＝1.5，则a－b的值为(　　)A．－0.1  B．0 C．0.1  D．0.2答案　B解析　由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，得a＋2b＝1.2且0.1＋a＋b＋0.1＝1，解得a＝0.4，b＝0.4.故a－b＝0.3．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.∴P(X＝－4)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＋××＋××＝，P(X＝6)＝××＝＝.∴X的分布列为X－4136P∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.知识点二  两点分布、二项分布的均值4. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是(　　)A．0.2  B．0.8 C．1  D．0答案　B解析　因为p(ξ＝1)＝0.8，p(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.5．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值．解　(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6，则E(ξ)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．则E(η)＝np＝5×0.6＝3.知识点三  超几何分布的均值6. 设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为(　　)A．  B． C．  D．答案　B解析　次品数X的分布列为X012P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.7．一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ)．解　p＝，∴＝，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．解法一：白球的个数ξ可取0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.解法二：取到白球个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则E(ξ)＝＝＝.知识点四  离散型随机变量的均值的性质及应用8. 设ξ的分布列为ξ1234P又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)A．  B． C．  D．答案　D解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.9．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是(　　)ξ＝k200300400500P(ξ＝k)0.200.350.300.15A．706元  B．690元 C．754元  D．720元答案　A解析　由分布列可以得到需求量的期望是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)．  一、选择题1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)A．  B． C．  D．答案　B解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝.所以ξ的分布列为ξ123P所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.2．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.当这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量ξ的数学期望为(　　)A．  B．2 C．  D．3答案　C解析　依题意，ξ～B，所以E(ξ)＝4×＝.故选C.3．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为(　　)X1234PmnA．  B． C．  D．答案　A解析　由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝，所以1×＋2m＋3n＋4×＝，又因为＋m＋n＋＝1，联立上面两式，解得m＝.4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(　　)A．7.8  B．8 C．16  D．15.6答案　A解析　X的取值为6,9,12，P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为X123Pp1p2p3则E(X)＝2的充要条件是(　　)A．p1＝－p2  B．p2＝1－2p3C．p1＝p3  D．p1＝p2＝p3答案　BC解析　由离散型随机变量X的分布列知：当E(X)＝2时，解得p1＝p3；当p1＝p3时，p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3，故C正确；当p1＝p3时，p2＝1－2p3，故B正确．故选BC.二、填空题6．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝________.答案　10解析　因为X～B，所以E(X)＝.又E(X)＝15，所以n＝30.由Y～B，得Y～B，故E(Y)＝30×＝10.7．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝2，则a＋b＝________.答案　解析　∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝2，即14a＋6b＝2，①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1，②由①②，可知a＝0，b＝，∴a＋b＝.8．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．答案　2解析　由题意知Y的可能取值为0,1,2,3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2.9．某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该学生取得A等级的课程数，则ξ的数学期望E(ξ)的值为________．答案　解析　ξ的可能取值为0,1,2,3.因为P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.三、解答题10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝，故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，P(X＝100)＝P(F)＝×＝，P(X＝120)＝P(E)＝×＝，P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，故所求的分布列为X0100120220P均值为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140.