高中数学选择性必修二 第四章 数列（章末复习）单元复习全面过 教案

一．知识系统整合

1.知识网络

2.知识梳理

二. 规律方法收藏

(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；

(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加和错位相减.

(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.

(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.

(5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.

三． 学科思想培优

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在构造新数列，及数列的函数性质中.

【典例1】（2021·河南高三月考（理））“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（    ）

A．春分､秋分 B．雨水､处暑

C．立春､立秋 D．立冬､立夏

【答案】A

【解析】设从夏至开始到冬至，各节气的晷长分别为，，，…，，

则夏至时晷长为(寸)，冬至时晷长为(寸)，

因为每个节气晷长损益相同，则为等差数列，设公差为，

所以，

解得，

所以，

由，得，

即晷长七尺五寸对应的节气为从夏至开始的第七个节气，即秋分；

设从冬至开始到夏至，每个节气的晷长为，

则，

由，得，

即晷长七尺五寸对应的节气是从冬至开始的第七个节气，即春分.

所以晷长为七尺五寸时，对应的节气为春分和秋分.故选：A.

【典例2】（2021·河南驻马店市·高三期末（文））年，考古工作者在湖南省云梦县睡虎地秦墓出土了大量记载秦法律令的竹简，其中包括徭律一条．徭律是秦代关于徭役的法律，其中规定：服徭戍迟到处以申斥和赀罚．失期三日到五日，谇；六日到旬，赀一盾；过旬，赀一甲．意思是：迟到天以内算正常，不处罚；迟到天，口头批评；迟到日，罚一面盾牌；迟到天以上，罚一副甲胄．若有一队服徭役的农民从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距里，第一天行里，以后每天都比前一天少行里，要求天内到达，则该队服徭役的农民最可能受到的惩罚是（   ）．

A．无惩罚 B．谇 C．赀一盾 D．赀一甲

【答案】C

【解析】由题意知，每日行走的路程成等差数列，记为，

因为首项为，公差为，所以．

设从甲地到乙地用天，则，

即，解得或（舍），

即从甲地出发前往乙地所用的时间为天，

因为要求天到达，所以迟到了天，

又因为迟到日，罚一面盾牌，故应赀一盾．故选：C.

【典例3】（2021·宁夏吴忠市·高三一模（文））已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由，得，

∴，

∵，∴．

（2）由（1）得，

∴，

当时，∵，∴，即证.

二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在求等差、等比数列的特定项，公差（公比），前n项和，项数的运算中.

【典例4】（2021·河南郑州市·高二期末（文））在等比数列中，有，数列是等差数列，且，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是等比数列，∴，，所以，即，

∵是等差数列，所以．

故选：C．

【典例5】（2021·湖北荆州市·荆州中学高二期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】是等比数列，也称等比数列，

，设，

则，，则，

.故选：D.

【典例6】（2021·安徽六安市·高三一模（文））设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为（    ）

A．3 B．4 C．3或4 D．4或5

【答案】C

【解析】由，可得，

因为，所以，

所以，所以．

因为，所以是递增数列，所以，

显然前3项和或前4项和最小．故选：C

【典例7】（2021·河南许昌市·高二期末（理））在数列中，，，对，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得

数列是以为首项，为公比的等比数列，

当时，

经检验，时成立．．

，故选：C.

【典例8】（2021·广西河池市·高二期末（理））已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】数列满足，对任意的都有，

则有，可得数列为常数列，

有，得，得，

又由，

所以．故选：C

【典例9】【多选】（2020·广东揭阳市·揭阳三中高二期中）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．为的最小值

C． D．

【答案】AC

【解析】,

,

对于也成立，

所以，故A正确；

当时，,当n=17时,当时，,

只有最大值，没有最小值，故B错误；

因为当时，,∴，故C正确；

，故D错误.故选：AC.

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现求数列的通项公式，在等差，等比数列判定、数列求和及数列开放题运用等方面.

【典例10】【多选】（2020·湖北高二期中）已知数列的前项和满足，下列说法正确的是（    ）

A．若首项，则数列的奇数项成等差数列

B．若首项，则数列的偶数项成等差数列

C．若首项，则

D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是

【答案】BCD

【解析】由①得②，

①②可得③，

所以④，

③④可得，

因此数列从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差；

若，即，则，即，所以；

由得，则；

由得，则；

所以，，

因此数列的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确；

此时

，即C正确；

因为成公差为的等差数列，也成公差为的等差数列；

为使对任意，恒成立，

只需，

若，由，则；由，可得；由得

所以，解得，即D正确.故选：BCD.

【典例11】（2021·辽宁大连市·高三期末）在①为常数)，②为常数)，③为常数)这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的前项和；若问题中的数列不存在，说明理由.

问题：是否存在数列，其前项和为，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】如果选择，由

即

解得

该方程组无解，

所以该数列不存在.

如果选择为常数)，即数列为等差数列，

由，可得公差，

所以

所以

如果选择为常数)，即数列为等比数列，

由，可得公比，

所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以其前项和为.

【典例12】（2021·江苏徐州市·徐州一中高三期末）设数列，是公比不相等的两个等比数列，数列满足．

（1）若，是否存在常数，使得数列为等比数列?若存在，求的值；若不存在，说明理由；

（2）证明：不是等比数列．

【答案】（1）存在，或；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题意知，若数列为等比数列，

则有，其中且，

将代入上式，得

，

即，

整理得，解得或．

（2）设数列，的公比分别为且，，

则，

为证不是等比数列，只需证，

事实上，

，

由于，故，又，从而，

所以不是等比数列.

【典例13】（2021·云南昆明市·高二期末（文））已知是等差数列，是递增的等比数列且前和为，，___________.在①成 等差数列，②(为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1），；（2）.

【解析】选①解：

（1）设等差数列的公差为，

，

.

由题意知，得，

设等比数列的公比为，即，

解得，或，由数列为递增等比数列可知不合题意，

所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知，

，

，

.

选②解：

（1）设等差数列的公差为，

，

.

令，则，

当时，

当时，也满足上式.

（2）由（1）知，

，

，

，

四、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在数列的的实际应用问题中.

【典例14】（2021·河南信阳市·高二期末（理））“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，

第六个单音的频率.故选：B.

【典例15】（2021·河南高二期末（文））疫苗是解决“新冠病毒”的关键，为了早日生产“新冠病毒”疫苗，某研究所计划建设个实验室，从第到第实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第实验室比第实验室的建设费用高万元，第实验室和第实验室的建设费用共为万元，现在总共有建设费用万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】设第实验室的建设费用为万元，其中，

由题意可得，解得，

则，

令，即且，解得.

所以最多可以建设个实验室.故选：C.

【典例16】（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利(单位：万元)，求：

（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.

【答案】（1）第7年；（2）第12年.

【解析】（1）当时，，解得，即，不成立，

当时，，即，随着的增大而减小，

当时，不成立，当时，成立，

故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；

（2）当时，累计新增盈利总额

，

可得所求超过5，

当时，，

整理得，由于随着的增大而减小

又当时，，故不成立，

当时，，故成立，

故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.