2023新教材高中数学第4章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.3独立性与条件概率的关系对点练新人教B版选择性必修第二册

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4．1.3　独立性与条件概率的关系知识点一  利用条件概率判断事件的独立性1. 已知P(|B)＝0.4，P(A)＝0.6，判断A与B是否独立．解　由P(A)＝0.6，得P()＝0.4，即P(|B)＝P()，则与B相互独立，故A与B相互独立．2．已知从某企业两个分厂生产的某产品中各抽取了500件，其产品质量如下表所示： 甲厂乙厂优质品360320非优质品140180从这些产品中随机抽取一个：(1)求抽到的产品为优质品的概率；(2)求抽到的产品来自乙厂的概率；(3)若已知抽到的产品来自乙厂，求该产品为优质品的概率；(4)判断“抽到的产品来自乙厂”与“抽到的产品为优质品”是否独立．解　由题意得，产品总数为1000.记A为“抽到的产品为优质品”，B为“抽到的产品来自乙厂”．(1)优质品总数为360＋320＝680，故抽到的产品为优质品的概率P(A)＝＝.(2)因为乙厂产品为500件，故抽到的产品来自乙厂的概率P(B)＝＝.(3)所求概率为P(A|B)，因为乙厂中优质品的产品数为320，故P(A|B)＝＝.(4)由(1)和(3)的结果知，P(A|B)≠P(A)，故“抽到的产品来自乙厂”与“抽到的产品为优质品”是不独立的．知识点二  相互独立事件概率的应用3. 甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为(　　)A．0.95  B．0.6 C．0.05  D．0.4答案　A解析　解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.故选A.4．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)A．  B． C．  D．1答案　C解析　设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝A∪B，且A和B互斥．故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.5．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．解　记事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)＝××＝.(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(1∪A12∪A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝.  一、选择题1．已知A与B独立，且P(AB)＝，P(A)＝，则P(|A)＝(　　)A．  B． C．  D．答案　A解析　因为A与B独立，故P(AB)＝P(A)P(B)，故P(B)＝＝＝.由A与B独立，可得A与独立，则P(|A)＝P()＝1－P(B)＝.故选A.2．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)A．0.80  B．0.75 C．0.60  D．0.48答案　B解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，由P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，解得P(A2)＝＝0.75.3. 如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)A．0.960  B．0.864 C．0.720  D．0.576答案　B解析　解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.因为K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.4．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)A．  B． C．  D．答案　D解析　记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.5．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)A．P(B)＝B．P(B|A1)＝C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件答案　BD解析　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，D正确；P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝＝，B正确；同理P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，A错误；P(B|A1)≠P(B)，事件B与事件A1不独立，C错误．故选BD.二、填空题6．机动车驾驶的考核过程中，科目三又称道路安全驾驶考试，是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称．假设某人每次通过科目三的概率均为，且每次考试相互独立，则至多考两次就通过科目三的概率为________．答案　解析　第一类：考一次就通过的概率为；第二类：第一次未通过，第二次通过的概率为×＝.综上，至多考两次就通过科目三的概率为＋＝.7．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．答案　0.09解析　乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．答案　0.46解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.三、解答题9．从某校高二年级学生中随机抽取了100名学生，其中男生55名，女生45名，调查了他们是否爱运动，得到如下表格： 爱运动不爱运动总数男生451055女生40545总计8515100设A表示“任意抽取一名学生，该学生爱运动”，B表示“任意抽取一名学生，该学生是男生”．(1)求P(AB)；(2)求P(B)，P(B|A)；(3)比较(2)中P(B|A)与P(B)的大小，请问对任意事件A，B，若P(A)>0，P(B)>0，P(B|A)与P(B)之间是否有确定的大小关系？若有，给出证明；若没有，举出反例．解　(1)AB表示“任意抽取一名学生，该学生爱好运动且是男生”，故P(AB)＝＝0.45.(2)P(B)＝0.55，P(B|A)＝＝＝.(3)(2)中P(B|A)<P(B)，对任意事件A，B，若P(A)>0，P(B)>0，则有P(B|A)≤P(B)．证明如下：∵P(B|A)＝，表示A发生的情况下，B发生的概率，P(B)表示B发生的概率，∴P(B|A)≤P(B)，当且仅当A，B相互独立时，取等号．10．甲、乙、丙三位大学毕业生，同时到一个用人单位应聘，其中被选中的概率分别为甲：P(A)＝；乙：P(B)＝；丙：P(C)＝，且各自能否被选中是无关的．(1)求三人都被选中的概率；(2)求只有两人被选中的概率；(3)三人中有几人被选中的事件最易发生？解　(1)∵三个事件A，B，C相互独立，∴三人都被选中的概率P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.(2)只有两人被选中的事件为BC＋AC＋AB.∵事件BC，AC，AB彼此互斥，且A，B，C相互独立，∴P(BC∪AC∪AB)＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝××＋××＋××＝.故只有两人被选中的概率为.(3)∵三人都不被选中的概率P()＝P()P()P()＝××＝，∴三人中有且仅有1人被选中的概率为1－P(ABC)－P(BC∪AC∪AB)－P()＝.∵>>，∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生．