第四章 数列（提分小卷）-【单元测试】高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

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第四章 数列 提分小卷（考试时间：45分钟 试卷满分：59分）一、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•北京）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为　　A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】数列是递增的整数数列，要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为1，，，则，当时，，，，即可继续增大，非最大值，当时，，，，不满足题意，即为最大值．故选C．2．（2021春•抚州期末）已知正项等比数列的公比为3，且，则　　A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，所以，则，故．故选A．3．（2021•包河区校级模拟）已知等差数列满足，且，则的取值范围为　　A． B．， C．，， D．，，【答案】B【解析】令，则，根据题意得，由．故选B．二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．4．（2021•龙岩模拟）已知数列的前项和是，则下列结论正确的是　　A．若数列为等差数列，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，则数列为等差数列 C．若数列和均为等差数列，则 D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列【答案】BCD【解析】：对于，若数列为等差数列，可得，但是首项的值不确定，所以数列不一定为等差数列，故选项错误；对于，若数列为等差数列，设公差为，则，可得，当时，，当时，，则，由，，则，所以，故数列为等差数列，故选项正确；对于，由数列为等差数列，则，则，所以，则为常数，则，所以，故，所以，又，所以，故选项正确；对于，由数列为等差数列，可得，则，所以，因为为等差数列，所以为常数，则，所以，则数列是常数数列，故选项正确．故选BCD．5．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则　　A． B．数列是递减数列 C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项【答案】ACD【解析】，，又，对；由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，错；，又，对；，时，，时，，，，时，，当，时，、且递减、为正数且递减，最小．对．故选ACD．三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．6．（2021•丙卷模拟）记为等比数列的前项和，公比为，满足，则数列的通项公式为　　．【答案】【解析】当时，，所以，所以，故，即所以故当时，，即．因为，，所以，故答案为：．7．（2021•吴忠模拟）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于　　．【答案】90【解析】设的公差为，首项为，由题意得，解得；，，且，公差为6，．故答案为：90四、解答题：本题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．（2021春•浦东新区期末）无穷数列满足：且．（1）求证：为等差数列；（2）若为数列中的最小项，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由已知可得：，，是公差为1的等差数列；（2）解：由（1）可得，，结合图象易知函数在，时取到最小值，由为数列中的最小项，有，解得：，的取值范围是：．9．（2019•河东区二模）已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为．依题意，有，代入，得．．解之得，或又单调递增，，，，（2），①②①②得，由，即对任意正整数恒成立，．对任意正整数，恒成立．，．即的取值范围是，．