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人教A版（2019）选修二 第四章数列 拓展四：数列大题专项训练（35道）-直击高考考点归纳-讲义
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拓展四：数列大题专项训练（35道）考点一 等差数列基本量的计算（4道）1．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可.【详解】（1）当时，，即，当时，，时，，与不符，所以；（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以2．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值．(1)求数列的通项公式及的最大值；(2)求【答案】(1)，前n项和最大值108；(2)，【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和；（2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时.【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得，则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去，则，，解得，，所以，令得，则当时，；当时，，所以；（2）由（1）可得，当时，…，当时，……，综上可得，，3．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式；(2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，则，所以当时，又也符合上式，故数列的通项公式为.（2）当时，，数列的前n项和；当时，，数列的前n项和，.综上所述：4．（2022春·福建莆田·高二校考期末）记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；（2）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设公差为，，∴，解得，∴．（2）∵，， ∴＝，∴当时，最小，最小值为．考点二 等差数列的证明（3道）5．（2022春·陕西西安·高二长安一中校考期末）设为数列的前n项和，且满足．(1)求证：数列为等差数列；(2)若，且成等比数列，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答.（2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答.(1)依题意，，当时，有，两式相减得：，同理可得，于是得，即，而当时，，所以数列为等差数列.(2)由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d，依题意，，解得或，当时，，当时，.6．（2022秋·云南昆明·高二统考期末）已知正项数列，，，是公差为2的等差数列.(1)证明：是等差数列；(2)记为数列的前n项和，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出，最后由等差数列的定义即可证明；（2）由裂项相消法求解即可(1)由题意，，因为是首项为3公差为2的等差数列，所以，，又因为，所以，故，所以是等差数列.(2)由（1）得，故，.7．（2022秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知各项均为正数的数列满足，且.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】(1)取倒数得，由等数列的定义可得是等差数列,再求通项公式即可;(1)利用裂项相消求前n项和.(1)证明：因为，所以,又，解得或(舍去)，所以是以为首项，1为公差的等差数列，故，即.(2)由（1）可知，.设的前n项和为，则.考点三 等比数列基本量的计算（3道）8．（2022春·吉林松原·高二校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.【详解】（1）设公差为，公比为，因为，则由可得，，即，由可得，，解得，则.所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，则，解得（舍去负值），所以.所以有，.（2）由（1）知，，，则..9．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考期末）已知是各项均为正数的等比数列，(1)求的通项公式及前项和；(2)设，求的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义和等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为数列是各项均为正数的等比数列，所以，由，或（舍去），因此；（2）由，因为，所以数列是等差数列，因此.10．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知为各项都为正数的等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列方程求解，再根据通项公式求解即可；（2）结合（1）得，再根据错位相减法求解即可.（1）解：设等比数列的公比为，因为，，依题意得，即，解得，（舍），所以，数列的通项．（2）解：结合（1）知，，则①，①×2，得②，①－②得，所以．考点四 等比数列的证明（4道）11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知数列，满足，其中，.(1)若，.①求证：为等比数列；②试求数列的前n项和.(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？【答案】(1)①证明见解析；②(2)【分析】（1）①，利用累加法求解即可；②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案.【详解】（1）①证明：，当时累加得，，又所以为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得，令，的前项和为，则，，得（2）若，则，所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，，设数列的前n项和为，则.所以，，所以所以.12．（2022秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知数列满足.(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明.【答案】(1)证明见解析，(2)见解析【分析】（1）根据题意证明为一个定值即可，再根据等比数列得通项公式求出数列的通项，即可得解；（2）易得数列为等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出结论.(1)证明：因为，所以，又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以；(2)证明：由（1）得，因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，因为，所以.13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得；（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.【详解】（1）证明：因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，所以，故是以4为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）得：，所以，则设①②则①-②得：则所以的前n项和14．（2022秋·辽宁·高二校联考期末）已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.【详解】（1）由，可得，即所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以（2）不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设，由当时，，即即当时，，即即所以最大，所以，故的最小值为考点五 由an和Sn的关系求通项（4道）15．（2022春·广东广州·高二校考期末）已知数列的前项和为.(1)当取最小值时，求的值；(2)求出的通项公式.【答案】(1)或(2)【分析】（1）将其配成顶点式，根据二次函数的性质计算可得；（2）根据作差即可得解.【详解】（1）解：因为，所以，又，所以当或时，取得最小值.（2）解：因为，所以当时，；当时，；显然是，也满足，所以；16．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前n项和．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】利用与的关系可得数列的通项公式，验证即可；（2）根据（1）的结果可得，利用等差数列的前n项和公式即可求解.(1)解：因为，当时，，当时，，所以，当时，也成立，所以．(2)解：因为，所以，所以．17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前项和与通项的关系先得到递推关系为等比数列模型，进而得到；（2）将等式往前递推一次得，再两边同乘以4与原式作差得到，进而得到结果.(1)∵，∴，∴令，得，∴是以4为首项，4为公比的等比数列，∴(2)∵，即∴等式两边同乘以4得：∴∴，∴，经检验成立，∴18．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知数列的前n项和为，______，(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围．在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①：根据与的关系即可求解；选②：根据已知有时，，两式相减即可求解；选③：根据已知有时，，两式相除即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出，则原问题等价于，令，判断数列的单调性，求出数列的最大值即可得答案.【详解】（1）解：选①：当时，，，，时，，两式相减得，数列是以2为首项2为公比的等比数列， ；选②：，时，，两式相减得，即，又当时，，，满足上式，；选③：，时，，两式相除得，当时，，满足上式，；（2）解：∵∴，∵对任意的，即对任意的都成立，∴对任意的都成立，，令，则，∵，，即，数列是递减数列，，，，∴的取值范围是.考点六 分组转化法求和（3道）19．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，分别求出和，可求公差d，根据是等差数列写出通项公式即可；（2）由，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可.【详解】（1）依题意，知，则，，设的公差为d，则，．（2）由（1）知，，，，设的前n项和为，则．20．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数恒有.(1)求和的通项公式；(2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和S2n.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通项即可；（2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分别用裂项相消和错位相减求和即可.【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以，令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以.（2）当为奇数时，；当为偶数时，；所以奇数项的前项和为，偶数项的前项和为①，①得：②，①-②得：，所以，.21．（2022秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.(1)求和的通项公式；(2)设求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设公差为，公比为，再根据题意列式求解基本量即可；（2）分为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可(1)设公差为，公比为，由可得，即，因为解得.又，故，解得.故(2)因为，故，设中奇数项和为，偶数项和为，则.，则，则，则，即，解得，故考点七 裂项相消法求和（6道）22．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，①，当时，②，①减②得：，当时，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以23．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列的前n项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；（2）由列项相消法求和.【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.故数列的通项公式；（2），故24．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）己知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，可得出，令时，由可得，两式作差可得推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，求出的值，进而可求得等比数列的通项公式；（2）求得，利用裂项求和法可证得原不等式成立.【详解】（1）因为，则当时，，当时，由可得， 所以，即， 因为是等比数列，则该数列的公比为，则，所以，即，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，故 .25．（2022秋·贵州黔西·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用求通项公式，注意检验是否成立；（2）由（1）表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明.【详解】（1）由题意，当时，，当时，由得，两式相减，得，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，得，则，所以.26．（2022春·浙江·高二期末）已知数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.【详解】（1）证明：因为，所以，即，因为，所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则．（2）解：由（1）知，所以．当为偶数时，，因为是单调递减的，所以． 当为奇数时，， 又是单调递增的， 因为，所以．要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是．27．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校联考期末）已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值为，最小值为【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式；（2）利用错位相减法即可求出；（3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出.(1)因为，所以，所以，又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，所以.(2)因为，所以①，②，①-②得，；(3)，记的前项和为，则，当为奇数时随着的增大而减小，可得，当为偶数时随着的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.考点八 错位相减法求和（5道）28．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知各项均不为零的数列满足，且.(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；(2)令为数列的前项和，求.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）构造得解决即可；（2）由（1）得，错位相减解决即可.【详解】（1）由，得，又，是首项为5，公差为3的等差数列.，故.（2）由（1）知，所以①②，①-②得：，.29．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，．(1)求等差数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得，再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题知，则，解得．（2）设数列的通项公式为，则，，则．30．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，（2）由错位相减法即可求和.【详解】（1）设数列的公差为，则解得∴．（2）依题意，知数列的通项公式为．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．31．（2022春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为成等差数列，所以，故，整理得到：，而，故.故，.（2），故，所以，所以，所以.32．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由，，，可得解得因此，；（2）由（1）知，，①，②①-②得，考点九 数列与不等式问题（3道）33．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得；（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解.【详解】（1），当时，，两式相减，得，整理得，当时，，经检验，满足，数列是以为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得，，，两式相减得，，又对于且恒成立，即，等价于对于且恒成立，令，则，则有，所以当时，，当时，，所以，则.34．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：(1)求的通项公式；(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式；（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案.【详解】（1）由①成等比数列可得：，即，整理可得：，由②可得即，由③可得：，可得：，若选①②：由，可得，所以，若选①③：由可得，所以，若选②③：由可得，所以，综上所述：的通项公式为（2）由（1）知：，故，恒成立，则，，令，则，故在上单调递增，在上单调递减；令，又，故对于，当时，，当时，，，故时，有最大值，此时，，由，有.故的最小值为.35．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．【答案】(1)；(2)5【分析】（1）利用可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值.【详解】（1）当时，，得，当时，由，得，所以，，所以，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，因为数列中落入区间内，所以，所以，，所以，所以数列中落入区间内的项的个数，所以，由，得，即，当时，，当时，，因为随的增大而增大，所以的最小整数为5.
拓展四：数列大题专项训练（35道）考点一 等差数列基本量的计算（4道）1．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可.【详解】（1）当时，，即，当时，，时，，与不符，所以；（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以2．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值．(1)求数列的通项公式及的最大值；(2)求【答案】(1)，前n项和最大值108；(2)，【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和；（2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时.【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得，则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去，则，，解得，，所以，令得，则当时，；当时，，所以；（2）由（1）可得，当时，…，当时，……，综上可得，，3．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式；(2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，则，所以当时，又也符合上式，故数列的通项公式为.（2）当时，，数列的前n项和；当时，，数列的前n项和，.综上所述：4．（2022春·福建莆田·高二校考期末）记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式；（2）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设公差为，，∴，解得，∴．（2）∵，， ∴＝，∴当时，最小，最小值为．考点二 等差数列的证明（3道）5．（2022春·陕西西安·高二长安一中校考期末）设为数列的前n项和，且满足．(1)求证：数列为等差数列；(2)若，且成等比数列，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答.（2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答.(1)依题意，，当时，有，两式相减得：，同理可得，于是得，即，而当时，，所以数列为等差数列.(2)由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d，依题意，，解得或，当时，，当时，.6．（2022秋·云南昆明·高二统考期末）已知正项数列，，，是公差为2的等差数列.(1)证明：是等差数列；(2)记为数列的前n项和，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出，最后由等差数列的定义即可证明；（2）由裂项相消法求解即可(1)由题意，，因为是首项为3公差为2的等差数列，所以，，又因为，所以，故，所以是等差数列.(2)由（1）得，故，.7．（2022秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知各项均为正数的数列满足，且.(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】(1)取倒数得，由等数列的定义可得是等差数列,再求通项公式即可;(1)利用裂项相消求前n项和.(1)证明：因为，所以,又，解得或(舍去)，所以是以为首项，1为公差的等差数列，故，即.(2)由（1）可知，.设的前n项和为，则.考点三 等比数列基本量的计算（3道）8．（2022春·吉林松原·高二校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果.【详解】（1）设公差为，公比为，因为，则由可得，，即，由可得，，解得，则.所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，则，解得（舍去负值），所以.所以有，.（2）由（1）知，，，则..9．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考期末）已知是各项均为正数的等比数列，(1)求的通项公式及前项和；(2)设，求的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义和等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为数列是各项均为正数的等比数列，所以，由，或（舍去），因此；（2）由，因为，所以数列是等差数列，因此.10．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知为各项都为正数的等比数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列方程求解，再根据通项公式求解即可；（2）结合（1）得，再根据错位相减法求解即可.（1）解：设等比数列的公比为，因为，，依题意得，即，解得，（舍），所以，数列的通项．（2）解：结合（1）知，，则①，①×2，得②，①－②得，所以．考点四 等比数列的证明（4道）11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知数列，满足，其中，.(1)若，.①求证：为等比数列；②试求数列的前n项和.(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？【答案】(1)①证明见解析；②(2)【分析】（1）①，利用累加法求解即可；②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案.【详解】（1）①证明：，当时累加得，，又所以为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得，令，的前项和为，则，，得（2）若，则，所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，，设数列的前n项和为，则.所以，，所以所以.12．（2022秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知数列满足.(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明.【答案】(1)证明见解析，(2)见解析【分析】（1）根据题意证明为一个定值即可，再根据等比数列得通项公式求出数列的通项，即可得解；（2）易得数列为等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出结论.(1)证明：因为，所以，又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以；(2)证明：由（1）得，因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，因为，所以.13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得；（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.【详解】（1）证明：因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，所以，故是以4为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）得：，所以，则设①②则①-②得：则所以的前n项和14．（2022秋·辽宁·高二校联考期末）已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.【详解】（1）由，可得，即所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以（2）不等式对于恒成立即对于恒成立即对于恒成立设，由当时，，即即当时，，即即所以最大，所以，故的最小值为考点五 由an和Sn的关系求通项（4道）15．（2022春·广东广州·高二校考期末）已知数列的前项和为.(1)当取最小值时，求的值；(2)求出的通项公式.【答案】(1)或(2)【分析】（1）将其配成顶点式，根据二次函数的性质计算可得；（2）根据作差即可得解.【详解】（1）解：因为，所以，又，所以当或时，取得最小值.（2）解：因为，所以当时，；当时，；显然是，也满足，所以；16．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前n项和．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】利用与的关系可得数列的通项公式，验证即可；（2）根据（1）的结果可得，利用等差数列的前n项和公式即可求解.(1)解：因为，当时，，当时，，所以，当时，也成立，所以．(2)解：因为，所以，所以．17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前项和与通项的关系先得到递推关系为等比数列模型，进而得到；（2）将等式往前递推一次得，再两边同乘以4与原式作差得到，进而得到结果.(1)∵，∴，∴令，得，∴是以4为首项，4为公比的等比数列，∴(2)∵，即∴等式两边同乘以4得：∴∴，∴，经检验成立，∴18．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知数列的前n项和为，______，(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围．在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①：根据与的关系即可求解；选②：根据已知有时，，两式相减即可求解；选③：根据已知有时，，两式相除即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出，则原问题等价于，令，判断数列的单调性，求出数列的最大值即可得答案.【详解】（1）解：选①：当时，，，，时，，两式相减得，数列是以2为首项2为公比的等比数列， ；选②：，时，，两式相减得，即，又当时，，，满足上式，；选③：，时，，两式相除得，当时，，满足上式，；（2）解：∵∴，∵对任意的，即对任意的都成立，∴对任意的都成立，，令，则，∵，，即，数列是递减数列，，，，∴的取值范围是.考点六 分组转化法求和（3道）19．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知，分别求出和，可求公差d，根据是等差数列写出通项公式即可；（2）由，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可.【详解】（1）依题意，知，则，，设的公差为d，则，．（2）由（1）知，，，，设的前n项和为，则．20．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数恒有.(1)求和的通项公式；(2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和S2n.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通项即可；（2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分别用裂项相消和错位相减求和即可.【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以，令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以.（2）当为奇数时，；当为偶数时，；所以奇数项的前项和为，偶数项的前项和为①，①得：②，①-②得：，所以，.21．（2022秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，.(1)求和的通项公式；(2)设求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设公差为，公比为，再根据题意列式求解基本量即可；（2）分为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可(1)设公差为，公比为，由可得，即，因为解得.又，故，解得.故(2)因为，故，设中奇数项和为，偶数项和为，则.，则，则，则，即，解得，故考点七 裂项相消法求和（6道）22．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，①，当时，②，①减②得：，当时，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以23．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列的前n项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；（2）由列项相消法求和.【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.故数列的通项公式；（2），故24．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）己知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，可得出，令时，由可得，两式作差可得推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，求出的值，进而可求得等比数列的通项公式；（2）求得，利用裂项求和法可证得原不等式成立.【详解】（1）因为，则当时，，当时，由可得， 所以，即， 因为是等比数列，则该数列的公比为，则，所以，即，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，故 .25．（2022秋·贵州黔西·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用求通项公式，注意检验是否成立；（2）由（1）表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明.【详解】（1）由题意，当时，，当时，由得，两式相减，得，又，故数列的通项公式为.（2）依题意，得，则，所以.26．（2022春·浙江·高二期末）已知数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.【详解】（1）证明：因为，所以，即，因为，所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，则．（2）解：由（1）知，所以．当为偶数时，，因为是单调递减的，所以． 当为奇数时，， 又是单调递增的， 因为，所以．要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是．27．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校联考期末）已知等差数列为递增数列，(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和：(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值为，最小值为【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式；（2）利用错位相减法即可求出；（3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出.(1)因为，所以，所以，又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，所以.(2)因为，所以①，②，①-②得，；(3)，记的前项和为，则，当为奇数时随着的增大而减小，可得，当为偶数时随着的增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.考点八 错位相减法求和（5道）28．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知各项均不为零的数列满足，且.(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；(2)令为数列的前项和，求.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）构造得解决即可；（2）由（1）得，错位相减解决即可.【详解】（1）由，得，又，是首项为5，公差为3的等差数列.，故.（2）由（1）知，所以①②，①-②得：，.29．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，．(1)求等差数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得，再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题知，则，解得．（2）设数列的通项公式为，则，，则．30．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，（2）由错位相减法即可求和.【详解】（1）设数列的公差为，则解得∴．（2）依题意，知数列的通项公式为．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．31．（2022春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为成等差数列，所以，故，整理得到：，而，故.故，.（2），故，所以，所以，所以.32．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由，，，可得解得因此，；（2）由（1）知，，①，②①-②得，考点九 数列与不等式问题（3道）33．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得；（2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解.【详解】（1），当时，，两式相减，得，整理得，当时，，经检验，满足，数列是以为首项，2为公比的等比数列，.（2）由（1）得，，，两式相减得，，又对于且恒成立，即，等价于对于且恒成立，令，则，则有，所以当时，，当时，，所以，则.34．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：(1)求的通项公式；(2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式；（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案.【详解】（1）由①成等比数列可得：，即，整理可得：，由②可得即，由③可得：，可得：，若选①②：由，可得，所以，若选①③：由可得，所以，若选②③：由可得，所以，综上所述：的通项公式为（2）由（1）知：，故，恒成立，则，，令，则，故在上单调递增，在上单调递减；令，又，故对于，当时，，当时，，，故时，有最大值，此时，，由，有.故的最小值为.35．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．【答案】(1)；(2)5【分析】（1）利用可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值.【详解】（1）当时，，得，当时，由，得，所以，，所以，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，因为数列中落入区间内，所以，所以，，所以，所以数列中落入区间内的项的个数，所以，由，得，即，当时，，当时，，因为随的增大而增大，所以的最小整数为5.
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