2023新教材高中数学第4章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.2乘法公式与全概率公式对点练新人教B版选择性必修第二册

4．1.2　乘法公式与全概率公式

知识点一  乘法公式

1. 某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子成长为幼苗的概率为(　　)

A．0.02  B．0.08

C．0.18  D．0.72

答案　D

解析　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子出芽后能成长为幼苗”为事件B|A，P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.

2．一个不透明的盒子中有5个产品，其中有2个是一等品，3个是二等品，甲、乙两人先后从中不放回地抽取产品，每次抽取1个，共抽取两次，假设甲抽完之后乙再抽，求：

(1)甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率；

(2)甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率．

解　设A＝{甲抽得一等品}，B＝{乙抽得一等品}，则P(A)＝.

(1)因为抽得的产品不放回，所以甲抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|A)＝.

根据乘法公式可知，甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝.

(2)因为P(A)＋P()＝1，所以P()＝1－P(A)＝.

因为抽得的产品不放回，所以甲没抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|)＝.

根据乘法公式可知，甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率为P(B)＝P()P(B|)＝×＝.

知识点二  全概率公式

3. 假设某市场供应的节能灯中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个节能灯，求该节能灯是合格品的概率．

解　用A1表示购买到的节能灯为甲厂产品，A2表示购买到的节能灯为乙厂产品，B表示购买到的节能灯是合格品，则

P(A1)＝70%，P(A2)＝30%，

P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝80%，

由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝70%×90%＋30%×80%＝87%.

4．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率．

解　用A表示第一次取出的是黑球，B表示第二次取出的是黑球，则B＝AB＋B.

由题意可得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝.

所以由全概率公式有

P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.

知识点三  贝叶斯公式

5. 假设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．

解　用A1表示经过的是货车，A2表示经过的是客车，B表示中途停车修理，则B＝A1B＋A2B.

由题意可得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，

P(B|A2)＝0.01.

由贝叶斯公式可知，

P(A1|B)＝

＝

＝

＝0.8.

解答题

1．分别在下列各条件下求P(BA)：

(1)P()＝0.4，P(B|A)＝0.3；

(2)P(A)＝0.5，P(|A)＝0.8.

解　(1)因为P(A)＝1－P()＝1－0.4＝0.6，

所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18.

(2)因为P(B|A)＋P(|A)＝1，

所以P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.8＝0.2.

所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.5×0.2＝0.1.

2．已知P()＝0.6，P(B|A)＝0.3，P(B|)＝0.2，求P(B)，P(A|B)．

解　因为P(A)＋P()＝1，

所以P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.

所以P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)

＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24，

所以P(A|B)＝＝＝0.5.

3．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占60%，而且经常参加体育锻炼的学生中，喜欢足球的占10%.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢足球的概率是多少？

解　用A表示抽到的学生经常参加体育锻炼，B表示抽到的学生喜欢足球．

由题意可得P(A)＝60%，P(B|A)＝10%.

则P(BA)＝P(A)P(B|A)＝60%×10%＝6%.

4．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3.所以从甲箱中任取2个产品，这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．

P(B1)＝＝，

P(B2)＝＝，

P(B3)＝＝，

P(A|B1)＝＝，

P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，

所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.

5．某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学共同在一个社区进行环保知识宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为7∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.若该社区居民遇到一位进行环保知识宣传的同学是女生，求该女生来自甲班的概率．

解　用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．

则根据题意，有P(A)＝＝，P()＝＝，

P(B|A)＝，P(B|)＝.

由贝叶斯公式，得P(A|B)＝

＝

＝＝.

故该女生来自甲班的概率为.