人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角随堂练习题

1.2.3　直线与平面的夹角

知识点一  直线与平面的夹角

1.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．120°

答案　C

解析　如图所示，斜线段AB的长度是它在平面α内的射影AC的长度的2倍．连接BC，易知△ABC为直角三角形，所以cos∠BAC＝.故所求角为60°.

2．如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜线，∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角的大小．

解　∵∠AOB＝∠AOC＝60°，

∴易证直线OA在α内的射影为∠BOC的平分线，作∠BOC的平分线OH交BC于H.

∵OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°.

故∠BOH＝45°，由公式cosθ＝cosθ1cosθ2，

得cos∠AOH＝＝.

∴直线OA与平面α所成的角为45°.

知识点二  用空间向量求直线与平面的夹角

3.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)

A．30°   B．60° 

C．120°   D．150°

答案　A

解析　设所求角为θ，由于sinθ＝|cos〈m，n〉|＝|－|＝，所以直线l与平面α所成的角为30°.故选A.

4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.故选B.

5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，－1,0)，C(－1，1,0)，B(1,1,0)，S(0，0，)．∴＝(－2,2,0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

∴令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.故选C.

6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，则实数λ的值为________．

答案　

解析　以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意可知，＝(0,0,2)，＝(1,2,2)，＝(2,0,2λ)．设平面APQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

即令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.所以n＝(2λ，2－λ，－2)．又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°，所以|cos〈n，〉|＝＝

＝，可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.

7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M，

C1，

B(0，a,0)，

故＝，

＝，＝.

设平面AMC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．

则∴

令y＝2，则z＝－，x＝0.

∴n＝.

又＝，

∴cos〈，n〉＝＝＝－.

设BC1与平面AMC1所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

8．如图，在三棱锥P－ABC中，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，D，E分别为AB，PB的中点，PD⊥平面ABC，PD＝3.

(1)求直线CE与直线PA所成角的余弦值；

(2)求直线PC与平面DEC所成角的正弦值．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0,0,0)，A(2,0,0)，D(1,1,0)，E(，，)，P(1,1,3)，＝(1，－1，－3)，＝(，，).

(1)设直线CE与直线PA所成的角为θ，则cosθ＝

＝，

整理得cosθ＝，

∴直线CE与直线PA所成角的余弦值为.

(2)设直线PC与平面DEC所成的角为θ0，平面DEC的一个法向量为m＝(x，y，z)，

∵＝(1,1,0)，＝(，，)，

∴

取x＝1，解得y＝－1，z＝，

即平面DEC的一个法向量为m＝(1，－1，)，

又＝(1,1,3)，

∴sinθ0＝

＝

＝.

∴直线PC与平面DEC所成角的正弦值为.

一、选择题

1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设所求角为θ，则θ＝〈a，n〉－＝－＝.故选B.

2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，通过计算得sin∠C1BO＝.故选C.

3．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　A

解析　cos〈n，a〉＝＝＝.故所成角的正弦值为，故选A.

4．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角是(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

答案　C

解析　cosθ＝cos45°cos45°＝，∴θ＝60°，故选C.

5.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　)

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三角形A1DP的面积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

答案　ABD

解析　对于选项A，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1＝B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，故A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，又A1C1∩A1D＝A1，则BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于选项B，因为点P在线段B1C上运动，所以S△A1DP＝A1D·AB，面积为定值，故B正确；对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值为60°，故C错误；对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，则P运动到B1C中点处，即所成角为∠C1BD1，设棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确．故选ABD.

二、填空题

6．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为________．

答案　

解析　设正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0,1,1)，A(，，0)，所以＝(－，，1)，又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成的角θ的正弦值sinθ＝＝＝，cosθ＝＝.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．

答案　30°

解析　解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O.∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C，∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，∴sin∠OA1B＝＝＝.∴∠OA1B＝30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.

解法二：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，C(0,1,0)．∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)．设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

∴令z＝－1，

得x＝1.

∴n＝(1,0，－1)．又B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)．

∴cos〈n，〉＝＝＝.

则A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为，

∴A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.

8．在长方体ABCD－A1B1C1D中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面α所成的角为45°，则截面A1MN面积的最小值是________，此时AM＝________.

答案　4　2

解析　如图，过点A作AE⊥MN，连接A1E，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥MN，所以MN⊥平面A1AE，所以A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，故∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，即∠AA1E＝45°.在Rt△A1AE中，因为AA1＝2，所以AE＝2，A1E＝2，在Rt△MAN中，由射影定理得ME·EN＝AE2＝4，由基本不等式得MN＝ME＋EN≥2＝4，当且仅当ME＝EN，即E为MN的中点时等号成立，所以截面A1MN面积的最小值为×4×2＝4.因为AM2＋AN2＝MN2，所以AM＝2.

三、解答题

9．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．

(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；

(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

解　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.

如图所示，以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴正方向，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．

∵AC＝BC＝AE＝4，

∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，

∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)．

∴cos〈，〉＝＝－，

∴异面直线AB与CE所成角的大小为.

(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，

∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)，

设平面ODM的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由可得

令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)．

设直线CD与平面ODM所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，

∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.

10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

解　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，

则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz.

因为AB＝AA1＝2，

所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．

(1)因为P为A1B1的中点，所以P(，－，2)，

从而＝(－，－，2)，＝(0,2,2)，

故|cos〈，〉|＝＝

＝.

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.

(2)因为Q为BC的中点，所以Q(，，0)，

因此＝(，，0)，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．

设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，

则即

不妨取n＝(，－1,1)，

设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，

则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.