高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角完整版ppt课件

1.2.3　直线与平面的夹角

知识点1　直线与平面所成的角

直线与平面所成的角

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　　)

(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． (　　)

(3)斜线与平面的夹角为[0，90°]． (　　)

(4)直线与平面的夹角为[0，90°]． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

[提示]　(1)×　错误，角的度数还可以是零度．

(2)√　根据斜线与平面所成的角的定义知正确．

(3)×　斜线与平面的夹角为(0，90°)．

(4)√　正确．

知识点2　最小角定理

1．一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？

[提示]　是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．

2．已知∠APB在平面α内，大小为60°，射线PC与PA，PB所成的角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是(　　)

A．－　　　B．　　　C．　　　D．－

B　[设PC与平面α所成的角为θ，则cos 45°＝cos θ·cos 30°，所以cos θ＝．]

知识点3　用空间向量求直线与平面的夹角

如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．

2．直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？

[提示]　不是．直线和平面的夹角为．

3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°　　　　 B．60°

C．30° D．以上均错

C　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]

类型1　公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用

【例1】　∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．

[解]　法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，

∴AB＝AC＝a．

又∵BC＝a，

∴AB2＋AC2＝BC2．

∴△ABC为等腰直角三角形．

同理△BOC也为等腰直角三角形．

取BC中点为H，连接AH，OH，

∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，

AH2＋OH2＝AO2．

∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH．

又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，

∴AH⊥平面α．

∴OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．

在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝．

∴∠AOH＝45°．

∴OA与平面α所成的角为45°．

法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，

∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，

作∠BOC的角平分线OH交BC于H．

又OB＝OC＝a，BC＝a，

∴∠BOC＝90°．

故∠BOH＝45°，

由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，

得cos∠AOH＝＝，

∴OA与平面α所成的角为45°．

求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．

[跟进训练]

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ．

[解]　由题意得∠CBD＝45°，

∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ．

∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．

即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°．

类型2　用定义法解决直线与平面的夹角问题

【例2】　如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．

1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？

[提示]　寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．

2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？

[提示]　①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°；

②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；

③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的射影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．

[解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC．

又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC，

PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．

(2)取PC的中点E，连接DE．

因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．

连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．

因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，

所以BC＝，DE＝，

在直角三角形ABP中，AD＝a，

所以sin∠DAE＝＝＝．

即AD与平面PAC夹角的正弦值为．

用定义法求直线与平面所成角的关注点

(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．

(2)三种情况：①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；

②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；

③若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．

[跟进训练]

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．

30°　[如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，

所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成的角，

设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，

sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．

即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．]

类型3　用向量求直线与平面所成的角

【例3】　(对接教材人教B版P45例2)如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，点H为D′B′上一点，且D′H＝D′B′，DH与BD′交于点P，求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

[解]　如图所示，以点D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz，

则C(0，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)，

∴＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)．

∵D′H＝D′B′，

∴＝＝，

∴＝＋＝(0，0，1)＋

＝．

∵平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)，

∴cos〈，〉＝＝＝．设DP与平面AA′D′D所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|＝，∴θ＝30°，即DP与平面AA′D′D所成的角为30°．

用向量法求线面角的步骤是什么？

[提示]　(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量；

(3)求平面的法向量n；

(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝．

[跟进训练]

3．如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．

(1)求证：B1C∥平面AC1M；

(2)求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．

[解]　(1)证明：在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．

以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，M，＝(0，－1，－2)，

＝(－1，0，2)，

＝，

设平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，

则

取z＝1，得n＝(2，－2，1)，

∴·n＝0，又B1C⊄平面AC1M，

∴B1C∥平面AC1M．

(2)＝(0，0，2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2，1)，

设AA1与平面AC1M所成的角为θ，

则AA1与平面AC1M所成角的正弦值sin θ＝＝＝，

所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为．

1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　)

A．　　　　　 B．

C． D．

D　[由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为．]   

2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

C　[连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．

C1O＝×＝2，

BC1＝＝2，

∴sin∠C1BO＝＝＝．]

3．已知正四棱锥O­ABCD中，OA＝AB，则OA与底面ABCD所成角的正弦值等于(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[设O在底面ABCD内的射影为O′，则O′为底面ABCD的中心，O′A＝AB．∵OA＝AB，∴OO′＝AB，∴OA与底面ABCD所成角∠OAO′的正弦值为．]

4．若平面α的一个法向量为(1，1，1)，直线l的方向向量为(0，3，4)，则l与α所成角的正弦值为________．

　[设l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝．]

5．在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．

　[如图，在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝，

设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，

由已知求得AO＝1，又PA＝4，

∴PO＝＝．

∴sin∠PAO＝＝．

即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．你是怎样理解公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的？

[提示]　由0≤cos θ2≤1，∴cos θ≤cos θ1，从而θ1≤θ．在公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0．

∴θ＝90°，此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．

2．利用向量法求直线与平面夹角的优点是什么？需要注意什么问题？

[提示]　(1)利用向量法求直线与平面的夹角的优点在于不需要作出角，只需建立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式sin θ＝|cos〈v，n〉|求解．

(2)利用法向量求直线和平面所成的角时要注意两点：

①不要认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角；

②直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值可正可负，要注意直线和平面所成角的范围是．