人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角导学案

直线与平面的夹角

【学习目标】

1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．

2．通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．

【学习重难点】

1．会求直线与平面的夹角．（重点、难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．直线和平面所成的角

2．最小角定理

3．用空间向量求直线与平面的夹角

如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cosθ＝sin〈v，n〉或sinθ＝|cos〈v，n〉．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线与平面的夹角不是锐角就是直角．（    ）

（2）斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．（    ）

（3）斜线与平面的夹角为[0,90°]．（    ）

（4）直线与平面的夹角为[0,90°]．（    ）

2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（    ）

A．120° B．60°

C．30° D．以上均错

3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为________．

4．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．

三、合作探究

类型1：公式cosθ＝cosθ1·cosθ2的应用

【例1】∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．

类型2：用定义法解决直线与平面的夹角问题

【例2】如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．

类型3：用向量求直线与平面所成的角

【例3】如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．

（1）求证：B1C∥平面AC1M；

（2）求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．

【学习小结】

1．知识：掌握线面角的概念以及最小角定理．

2．方法：（转化思想）利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量（有明显的线面垂直关系时尽量建系）表示出向量，其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．

【精炼反馈】

1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（    ）

A． B．

C． D．

3．若平面α的一个法向量为（1,1,1），直线l的方向向量为（0,3,4），则l与α所成角的正弦值为________．

4．在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．

5．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．