高中人教B版 (2019)1.2.3 直线与平面的夹角导学案及答案

直线与平面的夹角

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线与平面的夹角的概念

1.直线与平面的夹角的定义

如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为① ；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为② .

平面的斜线与它在平面内的③ 射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.

直线与平面所成的角也称为它们的夹角.

2.直线与平面的夹角的性质

如图所示，设是平面的一条斜线段，为斜足，为在平面内的射影，而是平面内的一条射线， . 记，则 ④ .

平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

要点二用空间向量求直线与平面的夹角

如图（1）（2）所示，可以看出或 ⑤ .

特别地， .

自主思考

1.一条直线和一个平面所成的角的余弦值可以是负值吗?

答案：提示不可以.因为直线和平面所成的角的范围是，所以直线和一个平面所成的角的余弦值不能是负值.

2.直线与平面所成的角的性质中的“最小”说明了什么?

答案：提示说明了一条直线与一个平面所成的角是唯一确定的.

3.向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角是多少?

答案：提示设与所成的角为，则 . .

名师点睛

1.直线与平面所成角的作法

已知斜线和平面（如图），过作，交平面于点，连接，令，则锐角就是直线与平面所成的角.

2.对直线与平面所成角的几点认识

（1）设在平面内的射影为，且直线与平面的夹角为，则．

（2）平面的法向量与所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角.

互动探究·关键能力

探究点一利用定义求直线与平面的夹角

精讲精练

例如图，平面是矩形，平面，，，是线段上的点，是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

答案：过点作交于点 .连接，如图.

平面，平面 .

则为直线与平面所成的角.

，，， . ，，

， .

在中，，

.

解题感悟

利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：

①过斜线上的点向平面作垂线，连接垂足与斜足得射影，但要注意垂足的位置；

②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.

迁移应用

1.如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小是 .

答案：

解析：如图所示.

取的中点连接，，易得，，

，，平面，

平面，

故为与平面所成的角.

易知在中，，，

，

.

探究点二公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用

精讲精练

例若，则与平面所成角的余弦值为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：如图，设在平面内的射影为，连接，

，点在的平分线上，

，为与平面所成的角.

，

即，

.

解题感悟

公式在解题时经常用到，可用来求线面角 .在应用公式时，一定要分清分别对应图形中的哪个角.

迁移应用

1.如图所示，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，为菱形的中心，，，求证：平面 .

答案：由题意可知，AC为的平分线，，且 .，

直线在平面上的射影为直线，记，则 .

，即点在平面上的射影为点，

平面 .

探究点三利用空间向量求直线与平面的夹角

精讲精练

例如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点.

（1）求与平面所成的角；

（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面的夹角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

答案：（1）如图所示，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，

则，，

设平面的一个法向量为，

由得取，则，，，

. 又， .

（2）存在.设在线段上存在一点，使直线与平面的夹角为，

不妨设，，则，

所以解得即点的坐标为，所以，

又是平面的一个法向量，

所以，

化简可得，解得

（不符合题意，舍去），

即点的坐标为，

故在线段BD上存在一点，使直线与平面的夹角为 .

解题感悟

用空间向量求直线与平面所成的角的步骤：

迁移应用

1.在正方体中，与平面所成角的大小为 .

答案：

解析：如图所示，连接，交于点，连接 .

设正方体的棱长为 .易证平面，

为在平面上的射影.

为与平面所成的角.

在中，，，

，，

即与平面所成角的大小为 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.已知向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为(     )

A. B. C. D.

答案：

2.正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为(     )

A. B. C. D.

答案：

3.正四面体中，棱与平面所成角的余弦值为 .

答案：

素养演练

数学运算——直线与平面夹角的最值或范围问题

1.（2020湖南师大附中高二月考）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是，的中点，点在棱上移动.

（1）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；

（2）当直线与平面所成的角最大时，确定点的位置.

解析：审：本题中的几何体为底面是菱形的四棱锥，以此为载体证明面面垂直，以及求直线与平面夹角的最值.

联：（1）连接，得出和，即可证明平面，从而得出平面平面；

（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

答案：解：（1）证明：连接，

底面为菱形，，为正三角形，

是的中点，∴①，又，，

平面，平面，，

，平面， ②平面，

平面，平面平面 .

（2）由（1）知，两两垂直，故以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 .

.

设，则，

则 ③ .

设平面的一个法向量为，

则令，则， .

设直线与平面所成的角为，

则

，

当 ④时，最大，此时为的中点.

思：解答本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立线面角的关系，从而通过数量关系进行说明，解题的难点是求直线和平面夹角的最值，常用的方法是利用函数的单调性或基本不等式求解.