2020-2021学年1.2.3 直线与平面的夹角课堂教学课件ppt

这是一份2020-2021学年1.2.3 直线与平面的夹角课堂教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了直线与平面的夹角，知识梳理，唯一确定，∠ABA′，°≤θ≤90°，反思感悟，最小角定理，注意点，sin〈vn〉，cos〈vn〉等内容，欢迎下载使用。

1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.
2.会利用空间向量求直线与平面的夹角.
　　日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？我们今天就来研究这个角.
问题1　直线与平面所成的角是如何定义的？
提示　如图，AA′⊥α，AB是平面α的一条斜线，直线A′B是斜线AB在平面α内的射影，且唯一确定，则∠ABA′即为直线AB与平面α所成的角.
1.斜线与平面所成的角注意到平面的一条斜线在平面内的射影是　　　　的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的　　 ，称为这条斜线与平面所成的角.2.直线与平面所成的角(1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为 　　，A′B是直线AB在平面α内的　　 ，则 　　　　就是直线AB与平面α所成的角.
(2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是　　　　　　 .当θ＝0°，AB α或AB α；当θ＝90°，AB α.
正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为2，侧棱长为 ，则B1C与平面AA1B1B所成的角为A.30° B.60° C.45° D.90°
如图，取AB的中点O，连接CO，B1O，△ABC为等边三角形，O为AB的中点，∴CO⊥AB，而平面ABC⊥平面AA1B1B，且平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面AA1B1B，∴∠CB1O即为B1C与平面AA1B1B所成的角.
又0°≤∠CB1O≤90°，∴∠CB1O＝30°.
利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线.
在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BCD1所成角的正弦值等于 .
如图，过D作DO⊥CD1，O为垂足.∵BC⊥平面CDD1C1，∴BC⊥DO，又DO⊥CD1且BC∩CD1＝C，BC，CD1⊂平面BCD1，∴DO⊥平面BCD1，∴∠DCO为CD与平面BCD1所成的角.令AB＝1，∴CD＝1，DD1＝2，
问题2　如图，OA为平面α的一条斜线，OB是OA在平面α内的射影，OC为α内的任一射线，证明∠AOB≤∠AOC.
提示　过B做BE⊥OC于E，则由三垂线定理得AE⊥OC，所以sin∠AOB＝ ，sin∠AOC＝ ，显然AB≤AE，所以有∠AOB≤∠AOC，当OC与OB重合时等号成立.
如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是 .平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____　　 .
cs θ＝cs θ1·cs θ2
(1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，运用时可以背诵成横的角乘以竖的角等于斜的角；(2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cs∠AOM＝cs∠AOB·cs∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PB＝ ，PC＝ ＋1，BC＝2，∠ACB＝45°.求PC与平面ABCD所成的角.
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，在△PCB中，由余弦定理知，
又cs∠PCB＝cs∠ACB·cs∠PCA，
又0°≤∠PCA≤90°，∴∠PCA＝45°.
几何法求线面角(1)直接法，平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用.(2)利用最小角公式cs θ＝cs θ1·cs θ2.
在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为 ，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成的角的余弦值为
如图，正四棱锥P－ABCD，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ.
用空间向量求直线与平面的夹角
问题3　如何用直线的方向向量和平面的法向量表示线面角？
提示　如图，可以发现，直线的方向向量与平面法向量的夹角并不是直线与平面所成的角，如左图，直线的方向向量与平面法向量的夹角和线面角互余；如右图，直线的方向向量与平面法向量的夹角的补角和线面角互余.于是我们有线面角公式sin θ＝|cs〈v，n〉|＝ (θ为直线与平面所成的角).
如图所示，v为直线的方向向量，n为平面的法向量.
θ＝或θ＝ .cs θ＝ 或sin θ＝ .
用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cs〈a，n〉|＝ ；(6)回归几何问题.
如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝ AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CM⊥SN；
设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，
令x＝2，得a＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量.
所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.
用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.
中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P－ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD.(1)求证：PD⊥AC；
∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，PO∩BD＝O，PO⊂平面POD，BD⊂平面POD，∴AC⊥平面POD，又PD⊂平面POD.∴PD⊥AC.
(2)试验表明，当PO＝ OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值.
建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(0,8,0)，D(－4,0,0)，P(0,0,2)，
设m＝(a，b，c)为平面PBC的法向量，
令c＝4，则m＝(2,1,4)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，
1.知识清单： (1)直线与平面所成的角及其性质. (2)利用空间向量求直线与平面的夹角.2.方法归纳：数形结合、代入法、转化法.3.常见误区： (1)应用cs θ＝cs θ1·cs θ2时混淆各角. (2)利用空间向量求直线与平面的夹角时，忽略所求夹角与求出的向量夹 角的区别.
2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，则BC1与平面CDD1C1所成角的正切值为
∵BC⊥平面CDD1C1，∴∠BC1C为BC1与平面CDD1C1所成的角，
3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，直线DC1与DB所成的角为60°，则直线DC1与平面ABCD所成的角为A.30° B.45°C.60° D.90°
依题意，得∠C1DB＝60°，又底面ABCD为正方形，∴∠CDB＝45°.∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1DC为DC1与平面ABCD所成的角，∵cs∠C1DB＝cs∠CDB·cs∠C1DC，∴cs 60°＝cs 45°·cs∠C1DC，
又0°≤∠C1DC≤90°，∴∠C1DC＝45°.
4.正四面体A－BCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为 .
如图，作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为△BCD的中心，
1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cs〈m，n〉＝ ，则l与α所成的角为A.30° B.60° C.120° D.150°
设l与α所成的角为θ，则
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所在直线所成的角为β，则θ＝90°－β或θ＝β－90°.
2.若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的角为θ，则下列关系式成立的是
4.已知∠APB在平面α内，大小为60°，射线PC与PA，PB所成的角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是
设PC与平面α所成的角为θ，则cs 45°＝cs θ·cs 30°，
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z).
令y＝1，则n＝(－1,1,0)为平面B1BD的一个法向量.
设v为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为直线l与平面α所成的角，
7.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是 .
如图，PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).
9.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点.求EB与平面ABCD所成角的余弦值.
取CD的中点M，连接EM，BM，则EM∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角.如图建立空间直角坐标系Dxyz，设PD＝DC＝1，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，
10.如图，四棱锥P－ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝AB＝2CD＝2，M为BC的中点.(1)求证：PM⊥AD；
取AD的中点N，连接PN，NM，因为△PAD是正三角形，所以PN⊥AD.又M是BC的中点，所以NM∥AB.因为∠BAD＝90°，即AB⊥AD.所以NM⊥AD，因为NM∩PN＝N，NM，PN⊂平面PMN，所以AD⊥平面PMN，又PM⊂平面PMN，所以AD⊥PM.
(2)若PB＝ ，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值.
所以PA2＋AB2＝PB2，则AB⊥PA.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为PN⊥AD，PN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PN⊥平面ABCD.
以N为原点，NA，NM，NP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
设直线PM与平面PAB所成角为θ，
11.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是A.AC⊥BDB.AB，CD所成角为C.△ADC为等边三角形D.AB与平面BCD所成角为60°
如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，
易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错.
12.已知三棱锥P－ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝ ，则PB与底面ABC所成角的大小为A.60° B.30° C.45° D.90°
设△ABC的外心为O，PB与底面ABC所成的角为θ.因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形，所以O为AC的中点.
又0°≤θ≤90°，所以θ＝30°.
13.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠CAB＝90°，AA1＝2AB＝2AC＝2，则直线A1B与侧面B1C1CB所成角的正弦值是 .
如图，取B1C1的中点D，连接A1D，BD，∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，又A1B1＝A1C1＝1，∴A1D⊥B1C1，又B1C1∩BB1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面B1C1CB，∴A1B在平面B1C1CB上的射影为DB，故∠A1BD为直线A1B与侧面B1C1CB所成的角，
14.如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝ ，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′－BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值为 .
取DE的中点H，连接OH，OD，OE，
则OH⊥OB.以O为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
设A′D与平面A′BC所成的角为θ，易得平面A′BC的一个法向量为n＝(1,0,0)，
15.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE＝ .
如图，以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE＝a(a>0)，
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则y＝0，令z＝1，得x＝－a，所以n＝(－a,0,1)，
因为直线FO与平面BED所成角的大小为45°，
16.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，A1在底面的射影为O点，AA1与底面所成的角为60°，AB＝2，cs∠A1AD＝cs∠A1AB＝ ，求对角线AC1的长.
由题意知，A1O⊥平面ABCD，则∠A1AO为AA1与平面ABCD所成的角，∴∠A1AO＝60°.∵cs∠A1AB＝cs∠BAO·cs∠A1AO，
又0°<∠BAO<180°，∴∠BAO＝30°.
同理∠DAO＝30°，∴AC为∠DAB的平分线，∴平行四边形ABCD为菱形.∵AB＝AD＝2，∴△ABD为等边三角形，