高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角学案及答案

直线与平面的夹角

迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”．迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”．

[问题]　45度到底指的是哪个角呢？

知识点　直线与平面的夹角

1．直线和平面所成的角

2．最小角定理

3．用空间向量求直线与平面的夹角

如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin_〈v，n〉或sin θ＝|cos_〈v，n〉|．

1．斜线与平面的夹角为[0，90°]，对吗？

提示：错误．斜线与平面的夹角为(0，90°).

2．直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？

提示：不是．直线和平面的夹角为.

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°　　　　　　　  B．60°

C．30°     D．以上均错

解析：选C　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．

解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，

所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，

设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，

sin ∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°.

即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.

答案：30°

[例1]　如图，正四棱锥P­ABCD底面边长为，高为1，求直线BE与平面PAC所成的角．

[解]　 如图，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P­ABCD的高，所以PO＝1，因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角，在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan ∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°.所以直线BE与平面PAC所成的角为60°.

求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[跟踪训练]

1．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)

A．　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选B　如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin ∠DAN＝＝＝.

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D的夹角为________．

解析：如图所示，连接A1C1交B1D1于E，

则有A1C1⊥B1D1，连接BE.

∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴DD1⊥A1C1，∴DD1⊥A1E.

又∵A1E⊥B1D1，∴A1E⊥平面BB1D1D.

∴∠A1BE是A1B与平面BB1D1D所成的角．

在Rt△A1BE中，A1E＝A1C1＝A1B.

∴∠A1BE＝.

即A1B与平面BB1D1D所成的角为.

答案：

[例2]　(链接教科书第44页例1)如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．

[解]　如图，过点A作AH⊥α，则∠AOH为AO与平面α所成的角，

∴cos 60°＝cos ∠AOB＝cos ∠AOC＝cos ∠AOH×cos ∠BOH

＝cos ∠AOH×cos ∠COH.

∴cos ∠BOH＝cos ∠COH，

∴∠BOH＝∠COH.

又∵OB＝OC＝a，BC＝a，

∴OB2＋OC2＝BC2，

∴∠BOC＝90°.

∴∠BOH＝45°，

∵cos ∠AOB＝cos ∠AOH·cos ∠BOH，

∴cos 60°＝cos ∠AOH·cos 45°.

∴cos ∠AOH＝.∴∠AOH＝45°，

即AO与平面α所成的角为45°.

cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用

(1)利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图形中θ，θ1，θ2；

(2)①当θ＝90°⇔θ2＝90°，即符合三垂线定理；

②由0<cos θ2<1，所以cos θ<cos θ1⇒θ1<θ，即θ1为所有θ角中最小的角．　　　　

[跟踪训练]

PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选C　如图，∵∠CPA＝∠CPB，

∴PC在平面APB内的射影PH是∠APB的平分线．

∴cos ∠CPH＝＝＝.

[例3]　(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

[解]　(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.

因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.

所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.

(2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝.

连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC.设Q(a，0，0)，则NQ＝ ，

B1，

故＝，

||＝.

又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的法向量，故sin ＝cos 〈n，〉＝＝.

所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.

用法向量求线面角的正弦值的流程图

[跟踪训练]

1.如图，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．

解：由题设条件知，可建立以AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AS所在直线为z轴的空间直角坐标系(如图所示).若设AB＝1，则A，B，C，D，S的坐标分别为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，1，0)，，(0，0，1)，

∴＝(0，0，1)，＝(－1，－1，1)，显然是底面的法向量．它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sin θ＝cos β＝＝＝，cos θ＝＝.

2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，求直线AA1与平面AB1C1所成的角．

解：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，).设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由

得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝，所以θ＝.

1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　)

A．　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选D　由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.

2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选C　如图，连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．

C1O＝×＝2，

BC1＝＝2，

∴sin ∠C1BO＝＝＝.

3．若平面α的一个法向量为(1，1，1)，直线l的方向向量为(0，3，4)，则l与α所成角的正弦值为________．

解析：设l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.

答案：

4．在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．

解析：如图，在正三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝，

设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，

由已知求得AO＝1，又PA＝4，

∴PO＝＝.

∴sin ∠PAO＝＝.

即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为.

答案：

5．在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．

解：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，

则A(a，0，0)，B(0，a，0)，

C(－a，0，0)，P，

从而＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0).

设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，

则cos 〈，n〉＝＝＝.

所以〈·n〉＝60°.

所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.