高中数学1.2.4 二面角同步达标检测题

1．2.4　二面角

知识点一  二面角及其度量

1.正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P－AB－C的正切值是________．

答案　2

解析　作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，取AB中点E，连接PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P－AB－C的平面角，∵正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P－AB－C的正切值tan∠PEO＝＝2.

知识点二  用空间向量求二面角的大小

2.三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)

A.  B.

C.或  D.或

答案　C

解析　只需搞清二面角的范围是[0，π]．故选C.

3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．以上都不对

答案　D

解析　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.故选D.

4.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，∠EBD＝60°，则二面角F－BE－D的余弦值为________．

答案　

解析　∵DA，DC，DE两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．

∵∠EBD＝60°，∴＝，由AD＝3，知BD＝3，

DE＝3，AF＝.则A(3,0,0)，

F(3,0，)，E(0,0，3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即

令z＝，则n＝(4,2，)为平面BEF的一个法向量．

连接AC，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC.∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量为＝(3，－3,0)，∴cos〈n，〉＝＝＝.由图可知二面角F－BE－D为锐角，∴二面角F－BE－D的余弦值为.

5．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝，求平面ASD与平面BSC所成角的大小．

解　如图建系，由题易知BD＝，SD＝1.

∴D(0,0,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，

∴＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,1,0)．

设n＝(x，y，z)是平面SBC的一个法向量，

由得

令y＝－1，则z＝－1，x＝0，∴n＝(0，－1，－1)．

又＝(0,1,0)为平面ASD的一个法向量，

∴cos〈，n〉＝＝＝－.

设平面ASD与平面BSC所成角的大小为θ，

∴cosθ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝45°.

即平面ASD与平面BSC所成角的大小为45°.

6．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.

(1)求AA1的长；

(2)若在线段BB1上存在点P，使得二面角P－A1C－A的余弦值为，求的值．

解　(1)以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝t(t>0)，

则A(0,0,0)，C1(0,4，t)，B1(3,0，t)，C(0，4,0)，

∴＝(0,4，t)，

＝(－3,4，－t)．

∵B1C⊥AC1，∴·＝0，

即16－t2＝0，解得t＝4，

即AA1的长为4.

(2)设P(3,0，m)(0≤m≤4)，

又A(0,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，

∴＝(0,4，－4)，＝(3,0，m－4)．

设n＝(x，y，z)为平面PA1C的一个法向量，

∴n⊥，n⊥，

∴

取z＝1，解得y＝1，x＝，

∴n＝(，1,1)为平面PA1C的一个法向量．

又知＝(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量，

则cos〈n，〉＝.

∵二面角P－A1C1－A的余弦值为，

∴＝，解得m＝1.∴＝.

一、选择题

1.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成角的大小是(　　)

A．120°   B．45°

C．135°   D．60°

答案　B

解析　以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，1，－1)．设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有

可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的一个法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成角的大小为45°.故选B.

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为(　　)

A．30°   B．60°

C．120°   D．150°

答案　C

解析　如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a)，∴＝(0，a,0)，＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)，设平面ABD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(0，a,0)＝ay＝0，n·＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0，∵a≠0，∴y＝0，x＝z，令z＝1，则n＝(1,0,1)，同理，平面B1BD1的一个法向量为m＝(－1，－1,0)，cos〈n，m〉＝＝－，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.故选C.

3.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　D

解析　如图所示，设AC∩BD＝O，连接OF.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所以B，F，C，D.

结合图形可知，＝，且为面BOF的一个法向量，由＝，＝，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.因为所求二面角为锐角，所以正切值为.故选D.

4.如图，已知边长为2的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A1－DE－B，设二面角A1－DE－B的大小为θ，则当异面直线A1E与BD的夹角为60°时，cosθ的值为(　　)

A．－  B. 

C．－  D.

答案　D

解析　∵△ABC为等边三角形，AF为中线，∴AF⊥BC.∵DE为中位线，∴BC∥DE，∴AF⊥DE，即DE⊥AG，且DE⊥GF.∵沿着DE翻折，∴A1G⊥DE，∴∠A1GF是二面角A1－DE－B的平面角，即∠A1GF＝θ.∵正△ABC的边长为2，∴AE＝BD＝1，A1G＝GF＝AF＝，连接EF，∵AE＝EC＝1，BF＝FC＝1，∴EF∥BD，EF＝BD＝1，∵异面直线A1E与BD的夹角为60°，∴∠A1EF＝60°，∴△A1EF是边长为1的等边三角形，∴A1F＝1，∴cosθ＝＝＝.故选D.

5．(多选)如图，正方体ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P.则下列结论正确的是(　　)

A．PD⊥EF

B．平面PDE⊥平面PDF

C．二面角P－EF－D的余弦值为

D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心

答案　ABC

解析　对于A，取EF的中点H，连接PH，DH，由原图知△BEF和△DEF为等腰三角形，故PH⊥EF，DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；对于B，根据折起前后，可知PE，PF，PD三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；对于C，根据A选项可知∠PHD为二面角P－EF－D的平面角，设正方形边长为2，因此PD＝2，PE＝PF＝1，PH＝，DH＝2－＝，由余弦定理得cos∠PHD＝＝，故C正确；对于D，由于PE＝PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是△DEF的外心，所以D错误．故选ABC.

二、填空题

6．向量a＝(－1,0,2)，b＝(1,1，)分别在二面角的两个半平面内，且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．

答案　或

解析　cos〈a，b〉＝

＝＝，

∴二面角的余弦值为或.

7．A，B，C三点在半径为1的球O面上，A，B及A，C的球面距离均为，且OA与平面ABC所成的角的正切值为，则二面角B－OA－C的大小为________．

答案　

解析　球心O与A，B，C三点构成三棱锥O－ABC，如图所示，设E为BC中点，连接OE，AE，已知OA＝OB＝OC＝r＝1，∠AOB＝∠AOC＝90°，由此可得AO⊥平面BOC，则AO⊥OE，由OE⊥BC，AE⊥BC，易证BC⊥平面AOE，∴平面ABC⊥平面AOE，又OA与平面ABC所成的角的正切值为，

∴在Rt△AOE中，tan∠OAE＝＝，∴OE＝，则BE＝，∴BC＝1，∴△BOC为等边三角形，则∠BOC＝，又BO⊥AO，CO⊥AO，则∠BOC为二面角B－OA－C的平面角，∴二面角B－OA－C的大小为.

8．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．

答案　

解析　＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．

由n·＝0，n·＝0，得令x＝2，则y＝1，z＝.即平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．由此易求出所求二面角的余弦值为.

三、解答题

9．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.

(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；

(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；

(3)求二面角A－CD－E的余弦值．

解　(1)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.

设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，1，.

＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，

于是cos〈，〉＝＝＝，

所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.

(2)证明：由＝(，1，)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.

因此，CE⊥AM，CE⊥AD.

又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD.

而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.

(3)设平面CDE的一个法向量为u＝(x，y，z)，则

于是

令x＝1，可得u＝(1,1,1)．

又由题意，得平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．

所以cos〈u，v〉＝＝＝.

因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.

10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．

(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小．

解　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，

AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，

所以BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，

所以BE⊥BP，则∠EBP＝90°，又∠EBC＝120°，

因此∠CBP＝30°.

(2)以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，

故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．

设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，

由可得

取z1＝2，

可得平面AEG的一个法向量为m＝(3，－，2)．

设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，

由可得

取z2＝－2，

可得平面ACG的一个法向量为n＝(3，－，－2)．

所以cos〈m，n〉＝＝.

又二面角E－AG－C为锐角，

因此所求的角为60°.