2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册，共16页。

第一章　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x，y的值为(　　)
A．x＝－13，y＝8 B．x＝－13，y＝5
C．x＝7，y＝5 D．x＝7，y＝8
答案　A
解析　∵a∥b且a≠0，又m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.故选A.
2．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　)
A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)
C．(－，，0) D.(，－，0)
答案　C
解析　由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，
∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H(－，，0).故选C.
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　C
解析　由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝[＋(＋)]·(＋)＝(＋)2＝(2＋2)＝1.
4.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)

A．(1,1,1) B.(，，1)
C.(，，1) D.(，，1)
答案　C
解析　设M点的坐标为(x，y,1)，因为AC∩BD＝O，所以O(，，0)，又E(0,0,1)，A(，，0)，所以O＝(－，－，1)，A＝(x－，y－，1)，
因为AM∥平面BDE，平面BDE∩平面ACEF＝OE，
所以O∥A，
所以⇒
所以M点的坐标为(，，1).故选C.
5．在△ABC中，∠ACB＝，AB＝2BC，将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P－BC－A的大小为θ(0<θ<π)，PB与平面ABC所成角为α，则α的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设BC＝a，则AB＝PB＝2a，AC＝CP＝a，P到平面ABC的距离为d，由旋转性质可知，BC⊥平面PAC，θ＝∠ACP，且VB－ACP＝VP－ABC，即BC·S△ACP＝dS△ABC，∴a··a·a·sinθ＝d··a·a，解得d＝asinθ，∴sinα＝＝≤，∴0＜α≤，即α的最大值为.故选D.
6.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　)

A. B.
C. D．2
答案　B
解析　如图，作EO⊥AB于O，以O为坐标原点，分别以OE，OB所在直线，过点O且平行于AD的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．则＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.故选B.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝.

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则∴∴n1＝(1,2,2)，
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即所成的锐二面角的余弦值为.故选B.
8.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为(　　)

A. B．1
C. D.
答案　C
解析　如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则M(0,0,1)，C(2,2,0)，D1(0,2,2)，B(2,0,0)，
∴＝(－2，－2,1)．
∵点P在侧面ABB1A1内，
∴设P(a,0，b)，a，b∈[0,2]，
则＝(2－a,0，－b)，＝(a，－2，b－2)．
∵D1P⊥CM，∴·＝－2a＋4＋b－2＝0，
即b＝2a－2，∴a∈[1,2]．
∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，
∴S△PBC＝BC·PB＝×2×PB＝.
将b＝2a－2代入，可得S△PBC＝＝，a∈[1,2]，∴当a＝时，S△PBC取得最小值，最小值为.故选C.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　)
A.＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
答案　BD
解析　A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.故选BD.
10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．AC⊥AF
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案　BC
解析　由题意及图形知，当点F与点B1重合时，∠CAB1＝60°，故A不正确；因为EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；VA－BEF＝×S△BEF×h＝××EF×BB1×AC＝×EF×BB1×AC，所以体积是定值，故C正确；设B1D1的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是BB1，因为AO>BB1，S△AEF＝×EF×AO，S△BEF＝×EF×BB1，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，D不正确．故选BC.
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　)

A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是0，
D．三棱锥D1－APC的体积不变
答案　ABD
解析　对于A，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，A1P，易证明平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是[，]，故C错误；对于D，连接D1P，PC，AP，V三棱锥D1－APC＝V三棱锥C－AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C－AD1P的体积不变，故D正确．故选ABD.

12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　　)

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C和点G到平面AEF的距离相等
答案　BC
解析　对于选项A，(解法一)以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1，0,0)，A1(1,0,1)，E(，1,0)，F(0,1，)，G(1,1，).从而＝(0,0,1)，＝(－1,1，)，从而·＝≠0，所以DD1与直线AF不垂直，A错误；

(解法二)取DD1的中点N，连接AN，则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射线，AN与DD1不垂直，从而AF与DD1也不垂直，A错误；
取BC的中点为M，连接A1M，GM，则A1M∥AE，GM∥EF，易证平面A1MG∥平面AEF，从而A1G∥平面AEF，B正确；

对于选项C，连接AD1，D1F，并延长D1F，AE交于点H.易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示)，且D1H＝AH＝，AD1＝，所以S△AD1H＝×× ＝，而S四边形AEFD1＝S△AD1H＝，从而C正确；

对于选项D，(解法一)由于S△GEF＝S梯形BEFG－S△EBG＝×(1＋)×－××＝，而S△ECF＝××＝，而VA－GEF＝S△EFG·AB，VA－ECF＝S△ECF·AB，所以VA－GEF＝2VA－ECF，即VG－AEF＝2VC－AEF，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍．D错误．

(解法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，易知O不是CG的中点，故假设不成立，D错误．故选BC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a＝(3λ，6，λ＋6)，b＝(λ＋1,3,2λ)为两平行平面的法向量，则λ＝________.
答案　2
解析　由题意知a∥b，所以＝＝，解得λ＝2.
14．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则当||取最小值时，x的值等于________．
答案　
解析　＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝，
故当x＝时，||取最小值．
15.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.

答案　－－＋
解析　连接AE，则＝－＝＋－＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
16.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________.当直线AP与平面BDD1B1所成的角最小时，直线AP与平面BDD1B1的交点坐标为________．

答案　　(，，)
解析　如图，由题意，得A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，所以＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)，

又·＝0，·＝0，
所以是平面BDD1B1的一个法向量．
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，又m>0，所以m＝.当点P与C1重合时，直线AP与平面BDD1B所成角最小，此时所求交点为AC1的中点，所以其坐标为(，，).
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2，1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为坐标原点)?
解　(1)因为a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)，所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，
则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，
所以
所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．
又因为b＝(－2,1,1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，
所以λ＝，所以E，
所以在直线AB上存在点E，使得⊥b.
18．(本小题满分12分)如图所示，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.

证明　设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，S(0,0,1)，E(，，).

证法一：连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，
则点O的坐标为(，，0).
因为＝(0,0,1)，＝(0,0，)，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
证法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,0)，＝(－，，)，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量n2＝＝(0,0,1)，
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
19．(本小题满分12分)如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解　(1)证明：因为＝＋＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)
＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)
＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
20.(本小题满分12分)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.

解　如图，建立空间直角坐标系Axyz，

∵AB＝1，AD＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，
F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，
＝(1，－1，0)，
设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，
∴n＝.
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E，则＝.
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且AB＝AC＝1，AD＝.

(1)证明：MN∥平面PCD；
(2)设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在(0，)内变化时，求二面角P－BC－A的平面角的余弦值的取值范围．
解　(1)证明：取PD的中点Q，连接NQ，CQ.

∵点M，N分别为BC，PA的中点，
∴NQ∥AD∥CM，
NQ＝AD＝CM.
∴四边形CQNM为平行四边形，∴MN∥CQ.
又MN⊄平面PCD，CQ⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
(2)连接PM，∵AB＝AC＝1，点M为BC的中点，则AM⊥BC.
又PA⊥平面ABCD，由三垂线定理得PM⊥BC.
∴∠PMA即为二面角P－BC－A的平面角，设为θ.
∵底面ABCD是平行四边形，AD＝，
∴BC＝AD＝，
又AB＝AC＝1，∴AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，M(，，0)，P(0,0，tanθ)，于是，＝(，，－tanθ)，＝(，，0)，＝(－1,1,0)．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，n·＝0，得
可取n＝(1,1，)，
又＝(0，－1,0)，
于是sinα＝＝＝sinθ.
∵0<α<，∴0 又0<θ<，∴0<θ<.
即二面角P－BC－A的平面角的余弦值的取值范围为(，1).
22.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝AB.

(1)过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
解　(1)当N为线段FC的中点时，AF∥平面BDN.
证明如下：如图所示，连接AC，BD，且AC与BD的交点为O，连接ON.

∵四边形ABCD为矩形，
∴O为AC的中点．
又N为FC的中点，∴AF∥ON.
∵AF⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，
∴AF∥平面BDN.
故当N为FC的中点时，AF∥平面BDN.
(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.
∵O为AC的中点，
∴P，Q分别为AD，BC的中点．
∵△ADE与△BCF均为等边三角形且AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF.连接EP，FQ，则EP＝FQ.
∵EF∥AB，AB∥PQ，EF＝AB，
∴EF∥PQ，EF＝PQ，
∴四边形EPQF为等腰梯形．
取EF的中点M，连接MO，则MO⊥PQ.
又AD⊥EP，AD⊥PQ，EP∩PQ＝P，
∴AD⊥平面EPQF.
过点O作OG⊥AB于点G，则OG∥AD，
∴OG⊥平面EPQF，
∴OG⊥OM，OG⊥OQ.
以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

不妨设AB＝4，则由条件可得
O(0,0,0)，A(1，－2,0)，B(1,2,0)，F(0,1，)，D(－1，－2,0)，N(－，，)，则＝(0,4,0)，＝(－1,3，)．
设n＝(x，y，z)是平面ABF的一个法向量，则
即
∴可取n＝(，0,1)．
由＝(－，－，)，
可得|cos〈，n〉|＝＝，
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.