高中数学1.2.3 直线与平面的夹角综合训练题

1.2.3 直线与平面的夹角(1)-A基础练

一、选择题

1.(2020全国高二课时练)设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】线面角的范围是0,.∵<a,n>=,∴l与法向量所在直线所成角为,∴l与α所成的角为.

2.（2020全国高二课时练）若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为 (　　)

A.- B. C.- D.

【答案】D

【解析】设α与l所成的角为θ,则sin θ=|cos<a,n>|===,故直线l与α所成角的余弦值为.

3. （2020山东泰安一中高二期中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】以D为原点建立空间直角坐标系,如图,

则=(1,1,0),=0,1,,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴·n=0,·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),∴cos<,n>=,∴<,n>=30°.

∴直线A1B与平面BDE成60°角.

4．（2020武冈市第二中学高二月考）如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，

可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，.故与平面所成角的大小为，故选A．

5．（多选题）（2020江苏徐州十六中高二期末）下列命题中正确的是（    ）

A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABD

【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；

对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD．

13．（2020山东菏泽三中高二月考）正三棱柱中，，则（    ）

A．与底面的成角的正弦值为

B．与底面的成角的正弦值为

C．与侧面的成角的正弦值为

D．与侧面的成角的正弦值为

【答案】BC

【解析】解：如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设；

则；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一个法向量为：，

与底面的成角的正弦值为，；

错对．的中点的坐标为，，；侧面的其中一个法向量为：；与侧面的成角的正弦值为：，；故对错；故选：．

二、填空题

7．（2020四川省南充市白塔中学高二月考）已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．

【答案】

【解析】设直线与平面所成的角为，则，

∴直线与平面所成的角为．

8.（2020福建莆田一中高二期中）在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为　　　　. 

【答案】

【解析】设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),=(1,3,),所以cos<n,>=,因为<n,>∈[0,π],所以sin<n,>=.

9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　. 

【答案】

【解析】设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,

则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).又=(0,0,1),

则sin<>=|cos<>|=.

22．（2020乐清市知临中学高二期末）如图在三棱锥中，，且，分别是和的中点．则异面直线与所成的角的余弦值为______，直线与面所成角大小为_________.

【答案】；    

【解析】因为，所以以S为坐标原点，SA,SB,SC为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设，则

因为，所以异面直线与所成的角的余弦值为，面一个法向量为则由得即直线与面所成角大小为.

三、解答题

11.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD所成角的正弦值.

【解析】由向量加法知)+,设||=1,则||=1,||=1,且两两垂直,可得||=,

∴=-,∴cos<>==-,

∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.

12.（2020福建三明一中高二期中）如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.

(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;

(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值.

【解析】以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.

(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,,0,∴=(a,a,-a),=a,-,0,

∴cos<>=,

故A1C与DE所成角的余弦值为.

(2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,

∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.

又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,

故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.

由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),

得=(0,-a,0),=(a,-a,a),

∴cos<>=,

又直线与平面所成角的范围是0,,

故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.