专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用

垂直平分线作图步骤：

1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；

2. 作直线 CD，CD 为所求直线

垂直平分线的性质：

【典例1】（2021秋•邓州市期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．

（1）若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　     ；

（2）去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（3）当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．

【解答】解：（1）等边三角形，

理由：∵AM＝AN，∠MAN＝120°，

∴∠M＝∠N＝30°，

∵BE是线段AM的垂直平分线，

∴AB＝BM，

∴∠MAB＝∠M＝30°，

∴∠ABC＝∠M+∠MAB＝60°，

同理，CA＝NC，

∴∠NAC＝∠N＝30°，

∴∠ACM＝∠N+∠NAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

故答案为：等边三角形；

（2）△ABC是等腰三角形，

理由：∵AM＝AN，

∴∠M＝∠N，

∵∠MAB＝∠M，∠ABC＝∠M+∠MAB，∠NAC＝∠N，∠ACB＝∠N+∠NAC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（3）当∠M＝∠N时，AB＝AC；

当2∠M+∠N＝90°时，∠BAN＝90°，

∴CF∥BN，

∵CF垂直平分AN，

∴AF＝FN，

∴CN＝BC，

∴CA＝NB＝BC，

同理，当∠M+2∠N＝90°时，BA＝BC，

综上所述，当∠M＝∠N、2∠M+∠N＝90°、∠M+2∠N＝90°时，△ABC是等腰三角形．

②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【变式1-1】（秋•密云区期末）已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE．

（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；

（2）证明：l垂直平分AE．

【答案】略

【解答】解：（1）如图所示：

（2）证明：解法一：如下图：连接AC，CE，ED，AD，

∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，

∴AC＝CE，AD＝DE，

在△ACD和△ECD中

∵，

∴△ACD≌△ECD（SSS），

∴∠ACD＝∠ECD，

∵AC＝CE，

∴l垂直平分AE．

解法二：如下图：连接AC，CE，ED，AD，

∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB，

∴AC＝CE，AD＝DE，

∴l垂直平分AE．

【变式1-2】（2020•建湖县模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB＝（　　）

A．25° B．50° C．60° D．90°

【答案】B

【解答】解：∵根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∵△ADC的周长为10，

∴AD+CD+AC＝10，

∴BD+DC+AC＝10，

∴AC+BC＝10，

∵AB＝7，

∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝7+10＝17，

故选：B．

【变式1-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，边AC的长为12cm，边BC的长为7cm，则△BCD的周长为（　　）

A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm

【答案】B

【解答】解：∵线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，

∴DA＝DB，

∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC，

∵AC＝12cm，BC＝7cm，

∴△BCD的周长＝BC+AC＝12+7＝19（cm），

故选：B．

【变式1-4】（2022春•郓城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴DB＝DA，

∴△ABD是等腰三角形；

（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，

∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；

（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，

∴AB＝2AE＝12，

∵△CBD的周长为20，

∴AC+BC＝20，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．

【变式1-5】（2021秋•思南县校级月考）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为16cm，求AB的长；

（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【解答】解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，

∴MA＝MC，

同理，NC＝NB，

∵△CMN的周长为16cm，

∴MC+MN+NC＝16cm，

∴AB＝AM+MN＝BN＝16cm；

（2）∵AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，

∴MD⊥AC，NE⊥BC，

∴∠ACB＝180°﹣∠MFN＝110°，

∴∠A+∠B＝70°，

∵MA＝MC，NB＝NC，

∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，

∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝∠ACB﹣（∠A+∠B）＝110°﹣70°＝40°．

1.（2021春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（　　）

A．60° B．75° C．65° D．70°

【答案】B

【解答】解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，

∴DC＝DB，

∴∠DCB＝∠B＝30°，

∵∠A＝45°，∠B＝30°，

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，

故选：B

2．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A＝22°，则∠BDC＝（　　）

A．52° B．55° C．56° D．60°

【答案】C

【解答】解：连接CH，

由题意得，直线MN是线段AB的垂直平分线，

∴AH＝BH，

∵CH＝AH，

∴CH＝AB，

∴∠ACB＝90°，

∵∠A＝22°，

∴∠ACH＝∠A＝22°，

∴∠BCH＝∠B＝68°，

∵BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，

故选：C．

3．（2021•长春一模）如图，∠AOB＝30°．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F，连接CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连接FG、CG，作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．∠AOG＝60° B．OF垂直平分CG 

C．OG＝CG D．OC＝2FG

【答案】D

【解答】解：由作法得OC＝OF＝OG，FG＝FC，

则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；

∵C点与G点关于OF对称，

∴∠FOG＝∠FOC＝30°，

∴∠AOG＝60°，所以A选项的结论正确；

∴△OCG为等边三角形，

∴OG＝CG，所以C选项的结论正确；

在Rt△OCM中，∵∠COM＝30°，

∴OC＝2CM，

∵CF＞CM，FC＝FG，

∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误．

故选：D．

4．（2020秋•鄞州区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

【答案】B

【解答】解：∵∠BAC＝100°，

∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EAB＝∠B，

同理∠GAC＝∠C，

∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，

∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，

故选：B．

5．（2021春•叶县期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．

（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；

②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【答案】略

【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．

（2）∵DF垂直平分线段AB，

∴DB＝DA，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∵∠C＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，

∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠DAC＝40°．

6．（2021秋•洪江市期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．

（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【解答】解：（1）△CDE的周长为10．

∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，

又∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∴∠ACD+∠BCE＝55°，

∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．

7．（2021秋•兴山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　  　；

（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；

（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，

故答案为：50°；

（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．

理由：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠A＝180°﹣2∠B，

又∵MN垂直平分AB，

∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．

（3）如图：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB＝MA，

又∵△MBC的周长是14cm，

∴AC+BC＝14cm，

∴BC＝6cm．