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    专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)
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    专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)

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    这是一份专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版),文件包含八年级数学上册专项13与尺规作图有关的计算和证明的综合应用原卷版docx、八年级数学上册专项13与尺规作图有关的计算和证明的综合应用解析卷docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共20页, 欢迎下载使用。

    专项13 与尺规作图有关的计算和证明的综合应用

    垂直平分线作图步骤

    1. 分别以点 AB 为圆心,以大于 AB 的长为半径作弧,两弧相交于 CD 两点;

    2. 作直线 CDCD 为所求直线

    垂直平分线的性质:

     

    典例12021秋•邓州市期末)在△AMN中,∠MAN90°,AM的垂直平分线交MNB,交AMEAN的垂直平分线交MNC,交ANF

    1)若AMAN,∠MAN120°,则△ABC的形状是      

    2)去掉(1)中的“∠MAN120°”的条件,其他不变,判断△ABC的形状,并证明你的结论;

    3)当∠M与∠N满足怎样的数量关系时,△ABC是等腰三角形?直接写出所有可能的情况.

    【解答】解:(1)等边三角形,

    理由:∵AMAN,∠MAN120°,

    ∴∠M=∠N30°,

    BE是线段AM的垂直平分线,

    ABBM

    ∴∠MAB=∠M30°,

    ∴∠ABC=∠M+MAB60°,

    同理,CANC

    ∴∠NAC=∠N30°,

    ∴∠ACM=∠N+NAC60°,

    ∴△ABC为等边三角形,

    故答案为:等边三角形;

    2)△ABC是等腰三角形,

    理由:∵AMAN

    ∴∠M=∠N

    ∵∠MAB=∠M,∠ABC=∠M+MAB,∠NAC=∠N,∠ACB=∠N+NAC

    ∴∠ABC=∠ACB

    ABAC

    ∴△ABC是等腰三角形;

    3)当∠M=∠N时,ABAC

    2M+N90°时,∠BAN90°,

    CFBN

    CF垂直平分AN

    AFFN

    CNBC

    CANBBC

    同理,当∠M+2N90°时,BABC

    综上所述,当∠M=∠N2M+N90°、∠M+2N90°时,△ABC是等腰三角形.

    当点P与点M重合时,PB+CP的值最小,最小值是8cm

    变式1-1(秋•密云区期末)已知如图,点A、点B在直线l异侧,以点A为圆心,AB长为半径作弧交直线lCD两点.分别以CD为圆心,AB长为半径作弧,两弧在l下方交于点E,连接AE

    1)根据题意,利用直尺和圆规补全图形;

    2)证明:l垂直平分AE

    答案】略

    【解答】解:(1)如图所示:

     

    2)证明:解法一:如下图:连接ACCEEDAD

    ACADABCEEDAB

    ACCEADDE

    在△ACD和△ECD

    ∴△ACD≌△ECDSSS),

    ∴∠ACD=∠ECD

    ACCE

    l垂直平分AE

    解法二:如下图:连接ACCEEDAD

    ACADABCEEDAB

    ACCEADDE

    l垂直平分AE

    【变式1-22020•建湖县模拟)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:分别以AB为圆心,大于AB的长为半径画弧,相交于两点MN作直线MNAC于点D,连接BD.若∠A25°,则∠CDB=(  )

    A25° B50° C60° D90°

    答案】B

    【解答】解:∵根据做法可知:MNAB的垂直平分线,

    ADBD

    ∵△ADC的周长为10

    AD+CD+AC10

    BD+DC+AC10

    AC+BC10

    AB7

    ∴△ABC的周长为AB+AC+BC7+1017

    故选:B

    变式1-32021春•龙泉驿区期末)如图,在△ABC中,线段AB的垂直平分线与AC相交于点D,连接BD,边AC的长为12cm,边BC的长为7cm,则△BCD的周长为(  )

    A18cm B19cm C20cm D21cm

    答案】B

    【解答】解:∵线段AB的垂直平分线与AC相交于点D

    DADB

    ∴△BCD的周长=BC+CD+DBBC+CD+DABC+AC

    AC12cmBC7cm

    ∴△BCD的周长=BC+AC12+719cm),

    故选:B

    变式1-42022春•郓城县期末)如图,在△ABC中,ABACAB的垂直平分线MNAC于点D,交AB于点E

    1)求证:△ABD是等腰三角形;

    2)若∠A40°,求∠DBC的度数;

    3)若AE6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.

    【解答】解:(1)证明:∵AB的垂直平分线MNAC于点D

    DBDA

    ∴△ABD是等腰三角形;

    2)∵△ABD是等腰三角形,∠A40°,

    ∴∠ABD=∠A40°,∠ABC=∠C=(180°﹣40°)÷270°

    ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD70°﹣40°=30°;

    3)∵AB的垂直平分线MNAC于点DAE6

    AB2AE12

    ∵△CBD的周长为20

    AC+BC20

    ∴△ABC的周长=AB+AC+BC12+2032

    变式1-52021秋•思南县校级月考)如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DMACDCB边的垂直平分线ENBCEDMEN相交于点F

    1)若△CMN的周长为16cm,求AB的长;

    2)若∠MFN70°,求∠MCN的度数.

    【解答】解:(1)∵DMAC边的垂直平分线,

    MAMC

    同理,NCNB

    ∵△CMN的周长为16cm

    MC+MN+NC16cm

    ABAM+MNBN16cm

    2)∵AC边的垂直平分线DMACDCB边的垂直平分线ENBCE

    MDACNEBC

    ∴∠ACB180°﹣∠MFN110°,

    ∴∠A+B70°,

    MAMCNBNC

    ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B

    ∴∠MCN=∠ACB﹣(∠MCA+NCB)=∠ACB﹣(∠A+B)=110°﹣70°=40°.

    1.2021春•和平区校级期中)如图,在△ABC中,∠A45°,∠B30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.则∠ACD的大小为(  )

    A60° B75° C65° D70°

    答案】B

    【解答】解:由尺规作图可知,线段BC的垂直平分线交ABD

    DCDB

    ∴∠DCB=∠B30°,

    ∵∠A45°,∠B30°,

    ∴∠ACB180°﹣∠A﹣∠B105°,

    ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB75°,

    故选:B

    2.(2020•宝安区二模)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于MN两点,连接MN,交AB于点H,以点H为圆心,HA的长为半径作的弧恰好经过点C,以点B为圆心,BC的长为半径作弧交AB于点D,连接CD,若∠A22°,则∠BDC=(  )

    A52° B55° C56° D60°

    【答案】C

    【解答】解:连接CH

    由题意得,直线MN是线段AB的垂直平分线,

    AHBH

    CHAH

    CHAB

    ∴∠ACB90°,

    ∵∠A22°,

    ∴∠ACH=∠A22°,

    ∴∠BCH=∠B68°,

    BCBD

    ∴∠BDC=∠BCD180°﹣68°)=56°,

    故选:C

    3.(2021•长春一模)如图,∠AOB30°.按下列步骤作图:在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作圆弧DE,交射线OB于点F,连接CF以点F为圆心,CF长为半径作圆弧,交弧DE于点G连接FGCG,作射线OG.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是(  )

    A.∠AOG60° BOF垂直平分CG 

    COGCG DOC2FG

    答案】D

    【解答】解:由作法得OCOFOGFGFC

    OF垂直平分CG,所以B选项的结论正确;

    C点与G点关于OF对称,

    ∴∠FOG=∠FOC30°,

    ∴∠AOG60°,所以A选项的结论正确;

    ∴△OCG为等边三角形,

    OGCG,所以C选项的结论正确;

    RtOCM中,∵∠COM30°,

    OC2CM

    CFCMFCFG

    OC2FG,所以D选项的结论错误.

    故选:D

    4.(2020秋•鄞州区期末)如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交ABBC于点DEAC的垂直平分线分别交ACBC于点FG,若∠BAC100°,则∠EAG的度数是(  )

    A10° B20° C30° D40°

    【答案】B

    【解答】解:∵∠BAC100°,

    ∴∠C+B180°﹣100°=80°,

    DEAB的垂直平分线,

    EAEB

    ∴∠EAB=∠B

    同理∠GAC=∠C

    ∴∠EAB+GAC=∠C+B80°,

    ∴∠EAG100°﹣80°=20°,

    故选:B

    5.(2021春•叶县期末)如图,在△ABC中,∠B30°,∠C40°.

    1)尺规作图:作边AB的垂直平分线交BC于点D

    连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)

    2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.

    答案】略

    【解答】解:(1)如图,点D,射线AE即为所求.

    2)∵DF垂直平分线段AB

    DBDA

    ∴∠DAB=∠B30°,

    ∵∠C40°,

    ∴∠BAC180°﹣30°﹣40°=110°,

    ∴∠CAD110°﹣30°=80°,

    AE平分∠DAC

    ∴∠DAEDAC40°.

    6.(2021秋•洪江市期末)如图,直线lm分别是△ABCACBC的垂直平分线,lm分别交边AB于点D和点E

    1)若AB10,则△CDE的周长是多少?为什么?

    2)若∠ACB125°,求∠DCE的度数.

    【解答】解:(1)△CDE的周长为10

    ∵直线lm分别是△ABCACBC的垂直平分线,

    ADCDBECE

    ∴△CDE的周长=CD+DE+CEAD+DE+BEAB10

     

    2)∵直线lm分别是△ABCACBC的垂直平分线,

    ADCDBECE

    ∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE

    又∵∠ACB125°,

    ∴∠A+B180°﹣125°=55°,

    ∴∠ACD+BCE55°,

    ∴∠DCE=∠ACB﹣(∠ACD+BCE)=125°﹣55°=70°.

    7.(2021秋•兴山县期末)如图,在△ABC中,ABACAB的垂直平分线交ABN,交ACM

    1)若∠B70°,则∠NMA的度数是    

    2)探究∠B与∠NMA的关系,并说明理由;

    3)连接MB,若AB8cm,△MBC的周长是14cm

    BC的长;

    在直线MN上是否存在点P,使PB+CP的值最小?若存在,标出点P的位置并求PB+CP的最小值;若不存在,说明理由.

    【解答】解:(1)若∠B70°,则∠NMA的度数是 50°,

    故答案为:50°;

    2)猜想的结论为:∠NMA2B90°.

    理由:∵ABAC

    ∴∠B=∠C

    ∴∠A180°﹣2B

    又∵MN垂直平分AB

    ∴∠NMA90°﹣∠A90°﹣(180°﹣2B)=2B90°.

    3)如图:

    MN垂直平分AB

    MBMA

    又∵△MBC的周长是14cm

    AC+BC14cm

    BC6cm


     

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