专项07 半角模型综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项07 半角模型综合应用

模型一   等角=要三角形中得半角模型

模型二    正方形中的半角模型

应用：①利用旋转构造全等三角形；

      ②利用翻折构造全等三角形。

【类型一：等腰三角形中的半角模型】

【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且．

（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF．

①∠DAF＝　  　；②求证：DF＝DE；

（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．

【变式1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．

（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　3或5　．

【典例2】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，

①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．

②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．

③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

【变式2】（1）问题背景：

如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　     　；

（2）探索延伸：

如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）实际应用：

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF＝70°时，两舰艇之间的距离是 　  　海里．

【类型二：正方形中的半角模型】

【典例3】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【变式3】【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM＝DN（不要求证明）

【应用】如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．求证：BE+DF＝EF．

【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，若BD＝3，EF＝1.7，则四边形BEFD的周长为 　     ．

1．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．

（1）求证：∠ABE＝∠CAD；

（2）求BP和AD的长．

2．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．

（1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝　  　度；

（2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；

（3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 　  　．

3.如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，△BDC是等腰三角形且BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作∠MDN＝60°，交边AB，AC于M，N两点，延长AC到点E，使得CE＝BM，连接MN、DE．

（1）试说明：①△MBD≌△ECD；②MN＝BM+NC；

（2）如图2，若点M是AB的延长线的一点，N是CA的延长线上的点，点E在线段AC上，其他条件不变，探究线段BM，MN，NC之间的关系，并说明理由．

4．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．

（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

5．阅读下列学习内容：

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠ABC＝∠D＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

探究思路如下：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．

⇒△ABG≌△ADF⇒

⇒∠DAF+∠BAE＝60°⇒∠GAB+∠BAE＝60°

∠EAG＝60°⇒⇒△AEF≌△AEG⇒EF＝EG

则由探究结果知，图中线段BE、EF、FD之间的数量关系为 　EF＝BE+FD　．

（2）根据上面的方法，解决问题：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，

上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN＝45°，若BM＝3，ND＝2，请求出线段MN的长度．

6．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　EF＝BE+FD　；（不需要证明）

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

7．【问题背景】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　      　．

【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【学以致用】

如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．