专项06 手拉手综合应用-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项06 手拉手综合应用

应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；

      ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

【类型一：等边三角形中的手拉手模型】

【典例1】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．

操作与证明：

（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．

（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．

猜想与发现：

（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．

【变式1-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P．

（1）求证：BE＝AD．

（2）求∠APB的度数．

【变式1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．

①∠AEC的度数为 　　    ；

②线段AE、BD之间的数量关系为 　    　；

（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．

【类型二：等腰三角形的手拉手模型】

【典例2】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°，

①求证：BD＝CE；

②∠BCE＝　  　；

（2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β，

①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°；

②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【变式2-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．

证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．

【变式2-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．

（1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

【类型三：直角三角形中的手拉手模型】

【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．

（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；

（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；

（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．

【变式3-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．

发现问题：

如图1，当点D在边BC上时，

（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 　BD⊥CE　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　        ．

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

【类型四：作辅助线构造手拉手模型】

【典例4】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．

（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；

（2）如果∠α＝60°，

①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；

②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．

【变式4】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．

（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；

（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论．

1．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）试说明：DC与BE的位置关系．

2．如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．

求证：

（1）AD＝BE；

（2）∠BMC＝∠ANC；

（3）△CMN是等边三角形．

3．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

（1）求∠DOE的度数；

（2）求证：△MNC是等边三角形．

4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0．

（1）求a，b的值；

（2）求证：∠OAB＝∠OBA；

（3）若BE⊥AE，求∠AEO的度数．

5．在平面直角坐标系中，如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2＝0．

（1）求∠BAO的度数．

（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，点D在AB上，点E在BC上，且AD＝BE，判断△DOE的形状，并说明理由．

（3）如图③，在（2）结论下，点D，E分别在AB，BC延长线上，求证：∠BDE+∠COE＝90°．

6．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE．则CE＝BD．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE，BD．

（1）如图②，请直接写出CE与BD的数量关系．

（2）将△ADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．

（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，α＝　　．（直接写出答案即可）

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP＝90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．

（1）△ABC的AB边上高为 　  　；

（2）求BP的长（用含t的式子表示）；

（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；

（4）当BP：BD＝1：2时，直接写出t的值．

8．问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

（1）填空：①∠AEB的度数为　     　；

②线段BE、AD之间的数量关系是　   　．

（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

9．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．

（1）证明：△AHB≌△AGC；

（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②当△AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．

10．如图，在△ABC和△AED中，AC交DE于点O，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AE＝AD，连接BE、CD．

（1）求证：BE＝CD；

（2）延长DE交BC于F，若∠BEF＝∠CDF，求∠AEB的度数；

（3）在（2）的条件下，当AD＝BE时，连接CE，若BF＝4，求△DCE的面积．