初中数学14.3 因式分解综合与测试同步达标检测题

这是一份初中数学14.3 因式分解综合与测试同步达标检测题，文件包含八年级数学上册专题14因式分解原卷版重点突围docx、八年级数学上册专题14因式分解解析版重点突围docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

专题14 因式分解

考点一 判断是否是因式分解 考点二 公因式及提提公因式分解因式
考点三 已知因式分解的结果求参数 考点四 运用公式法分解因式
考点五 十字相乘法分解因式 考点六 分组分解法分解因式
考点七 因式分解的应用

考点一 判断是否是因式分解
例题：（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解即可．
【详解】解：A、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
B、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本项错误，不符合题意；
D、是因式分解，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【变式训练】
1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1+） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解： A．是因式分解，运用了提公因式法，符合题意；
B．是整式的乘法运算，不符合题意；
C．不是因式分解，右边不是乘积的形式，不符合题意，
D．左边是单项式，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．掌握因式分解的定义是解题的关键．

考点二 公因式及提提公因式分解因式
例题：（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）多项式的公因式是______．
【答案】
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．
【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低指数是2，
∴该多项式的公因式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）分解因式_______
【答案】3x（x-1）
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【详解】解：3x（x-1）；
故答案为：3x（x-1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
【答案】2x
【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可．
【详解】解：

多项式的公因式为2x．
故答案为：2x．
【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

考点三 已知因式分解的结果求参数
例题：（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____．
【答案】5
【分析】把（x+3）（x+2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【详解】解：∵＝（x+3）（x+2）＝，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北保定·八年级期末）若多项式因式分解为，则________．
【答案】3
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出a即可．
【详解】解：,
∵多项式因式分解为，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互为逆运算是解题的关键．
2．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知二次三项式分解后有一个因式为，则______．
【答案】6
【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设另一个因式为（x+n），
得x2-5x+m=（x-2）（x+n），
则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．
∴，
解得．
∴m的值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．

考点四 运用公式法分解因式
例题：（2022·黑龙江大庆·八年级期末）因式分解：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式mn，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解即可．
（1）
解：

；
（2）
解：



．
【点睛】此题考查因式分解．熟练掌握因式分解的步骤和方法是关键．注意因式分解一定要分解到每一个因式不能再分解为止．
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）因式分解
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数后利用平方差公式分解因式；
（2）先用平方差公式，再结合完全平方公式分解因式；
（1）
解：原式=
（2）
原式=
【点睛】本题主要考查平方差公式和完全平方公式的灵活运用，熟记公式是解题关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学八年级阶段练习）分解因式：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
（1）
解：

．
（2）
解：

．
（3）
解：

．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．

考点五 十字相乘法分解因式
例题：（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：

．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把式子化成，再运用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
2．（2022·福建三明·八年级期中）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解




．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：

；
（2）
解：


．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．

考点六 分组分解法分解因式
例题：（2022·广东·南山实验教育集团八年级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式．
【答案】
【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后利用平方差公式进行分解即可解答．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了因式分解分组分解法，公因式，因式分解运用公式法，合理进行分组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．



；
也可以


．
以上分解因式的方法称为分组分解法，
(1)请用分组分解法分解下列因式：
①
②
(2)拓展延伸
①若求x，y的值；
②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？
【答案】(1)①；②
(2)①，；②，，最小值：
【分析】（1）①正确分组，然后用提取公因式，利用平方差公式求解；②将化为，再利用完全平方公式，平方差公式求解；
（2）①将化为，求出x和y的值；②将分组分解得到，结合，，求出x和y的值，的最小值．
（1）
解：①


；
②


；
（2）
解：①，
，
，
，，
，；
②

，
，，
，时，有最小值，最小值是-10，
，，
，
即当，时，代数式有最小值，最小值是-10．
【点睛】本题考查了因式分解的方法-分组分解法，平方差公式和完全平方公式；正确进行分组是解决问题的关键．
2．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2）
，
，
故答案为：，．
（3）

．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．

考点七 因式分解的应用
例题：（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：

根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由得，
，
∵≥0，，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1．
故答案为：3；1；
（2）
由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）
由得，
∴，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学七年级期中）阅读材料：若，求的值．
解：

根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由，得，
∵≥0，，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由得，

∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴=16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵，
∴，
∴，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
2．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为(   )
A．正数        B．零         C．负数           D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，即可作出判断；
（2）根据题意由得到，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．
（1）
解：


∵，，
∴≥4
∴不论x，y为何有理数，的值均为正数，
故选：A
（2）
∵，
∴，
∴，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，
∴，
即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．





一、选择题
1．（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
【答案】C
【分析】根据确定多项式各项公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数②定字母，即确定各项相同字母因式（或相同多项式因式）③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数最低次幂，确定公因式即可
【详解】原式
∴公因式为4ab2
故选：C
【点睛】本题考查了确定公因式的方法，关键是掌握确定公因式的方法．
2．（2022·山东·济南市济阳区创新中学八年级期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义是把一个多项式转化成几个整式积的形式，依次进行分析判断可得答案．
【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故A错误；
B． ，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C． ，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D． ，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的意义，注意掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
3．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）对任意自然数，代数式的值一定能被（　　　）整除．
A．6 B．24 C．4 D．8
【答案】B
【分析】先将题目中的代数式化简，即可得到题目中的代数式一定可以被哪个数整除，本题得以解决．
【详解】解：∵
=[（n+7）+（n－5）][（n+7）－（n－5）]
=（n+7+n－5）（n+7－n+5）
=（2n+2）×12
=24（n+1），
∴代数式的值一定能被24整除，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
4．（2021·江苏无锡·九年级期中）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．10或11 D．12
【答案】C
【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴a=3，b=4.
分两种情况讨论：
①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10，
②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11．
综上所述：该等腰三角形的周长为10或11．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式．
5．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字： 中， 爱， 我， 数， 学，马， 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ）
A．我爱学 B．爱马中 C．我爱马中 D．马中数学
【答案】C
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【详解】解：

=，
∵分别对应下列六个字：中， 爱， 我， 数， 学，马，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱马中，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的综合应用，正确将所给的式子进行因式分解是解决本题的关键．
二、填空题
6．（2022·广东汕头·八年级期末）因式分解：2m3﹣2m＝______________.
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2022·四川成都·八年级期末）已知：a+b=3，ab=2，则_____．
【答案】9
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，将已知等式整体代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a+b=3，ab=2，
∴



=9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）若实数a，b满足，则代数式的值为_______．
【答案】
【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】解：∵，
∴




故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
9．（2022·河南平顶山·八年级期末）若三角形ABC的三边长a，b，c满足，则三角形ABC的形状是_______．
【答案】等腰三角形
【分析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到（2b+1）（a－c）=0，由此得到a=c，易判断三角形ABC的形状．
【详解】解：∵a+2ab=c+2bc，
∴a－c＋2ab－2bc=0，即（2b+1）（a－c）=0，
∵a，b，c是△ABC的边长，
∴b＞0，
∴2b+1≠0，
∴a－c=0，
∴a=c，即三角形ABC的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】该题主要考查了因式分解及其应用问题，等腰三角形的判定，解题的关键是牢固掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．
10．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．观察图形，发现多项式可因式分解为____________．

【答案】
【分析】图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果．
【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为，
长方形的面积也可以为，
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键．
三、解答题
11．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）分解因式：
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
（1）
解：
＝
；
（2）



．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；
（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．
（1）
解：


（2）
解：



【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；
（2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；
（3）先将原式分组为再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；
（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．
（1）
解：
=
；
（2）
解：


；
（3）
解：



（4）


．
【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底.
14．（2021·山西临汾·八年级期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．
解：令，
则原式．
∵，∴原式．
老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：
(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．
(2)请模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)否；
(2)
【分析】（1）检查解答结果继续应用完全平方公式进行分解即可；
（2）利用题目提供的信息进行分解因式即可．
（1）
解：∵，
∴上述解答的结果没有分解到最后．
故答案为：否；．
（2）
解：令，
则



∵，
∴原式


【点睛】本题主要考查了因式分解，读懂题意，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
15．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．

根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：



．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
16．（2022·广东广州·八年级期末）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形
【分析】（1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解；
（2）先分组，再利用分组分解法求解；
（3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到，利用三角形三边的关系得到a=c或a=b，从而可判断△ABC的形状．
(1)
解：
=
=；
(2)

=
=；
(3)

=
=
=
=
=0
∴a=c或a=b
∴△ABC为等腰三角形．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．
17．（2022·江西吉安·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式


例2：“三一分组”：
解：原式


归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；
②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①


；
②


；
（2），
，
，
，
，，是的三边，
，
，
，
，
即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．