专题15 分式的概念及基本性质（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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专题15 分式的概念及基本性质

考点一 分式的判断 考点二 分式的有无意义的条件
考点三 分式的值为零 考点四 分式的求值
考点五 求使分式为整数时未知数的整数值 考点六 分式的规律性问题
考点七 判断分式变形是否正确 考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化
考点九 最简分式、最简公分母 考点十 通分

考点一 分式的判断
例题：（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）下列各式中，，，，，是分式的有（   ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，， ，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
，分母中含有字母，是分式，
所以是分式有2个，
故选：C
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式.
【变式训练】
1．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学八年级阶段练习）下列各式中，是分式的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：选项、、中代数式的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．选项中的代数式的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．（2022·湖北·京山市实验中学八年级期中）下列各式：，，，中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义，分母的整式中含有字母，判断即可．
【详解】因为是分式，不是分式，是分式，不是分式，
故有两个，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的定义即中，整式总含有字母，正确理解定义是解题的关键．
3．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）在式子中，分式的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母；进行判断即可．
【详解】解：，
是分式的是：，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟记定义是解本题的关键．

考点二 分式的有无意义的条件
例题：（2022·陕西·无九年级开学考试）分式有意义的条件是______．
【答案】x≠-3
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：3+x≠0，
∴x≠-3．
故答案为：x≠-3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期中）要使分式有意义，x的取值应满足_____．
【答案】x≠8
【分析】根据分式的分母不能为零求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x－8≠0，
∴x≠8，
故答案为：x≠8
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习） 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________．
【答案】x≠
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，2x-1≠0，
解得，x≠，
故答案为：x≠．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
3．（2022·广东·佛山市顺德区文德学校八年级阶段练习）要使分式有意义，x的取值应满足_______________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键．

考点三 分式的值为零
例题：（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）若分式的值为零，则x的值为 _____．
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2＝0，x﹣2≠0，
由|x|﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
由x﹣2≠0，得x≠2，
综上所述，得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）当______时，分式的值等于0．
【答案】
【分析】根据分式的值为0，可得，由此可得出x的值，再代入分式的分母进行检验即可．
【详解】解：由题意，可得：，
解得：，
当时，，
∴当时，分式的值等于0．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的值为0、分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为0的求值方法是解本题的关键．
2．（2022·广东茂名·八年级期末）若分式的值为零，则______．
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件分子为零、分母不为零可以求出的值．
【详解】解：根据题意，得
，且、；
解得；
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．
3．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）若代数式的值为0，则x=______；当b=______时，分式无意义．
【答案】         
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可求出x的值；根据分式无意义的条件：分母为0，即可求出b的值．
【详解】解：∵代数式的值为0，
∴，解得，
∵分式无意义，
∴，解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件及分式无意义的条件，注意分式值为0的条件一定要满足分母不0，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．

考点四 分式的求值
例题：（2022·黑龙江·大庆市高新区学校八年级期中）已知，则______.
【答案】
【分析】根据可得到，将代入求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
将代入得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）已知，则分式的值为______．
【答案】6
【分析】根据求得，然后代入求值即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：6．
【点睛】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的约分是解题的关键．
2．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）已知，则______．
【答案】-14
【分析】根据，可以得到，然后代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：，
，




，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解答本题的关键是求出和的关系．
3．（2020·湖南·李达中学八年级阶段练习）若，则分式的值为_______．
【答案】6
【分析】将原式进行化简，由得，代入化简结果即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴



．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求分式的值，解题的关键是正确将原式进行化简．

考点五 求使分式为整数时未知数的整数值
例题：（2022·江苏苏州·八年级期末）分式的值是整数，则正整数的值等于______．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：或或，
∴或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝______．
【答案】2或4或-10或16
【分析】将分式进行变形为，得出要值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：

＝

若要值为整数，只需为整数即可，
当x=2时，，
当x=4时，，
当x=-10，时，
当x=16，时，
综上分析可知，x=2或4或-10或16时，分式的值为整数．
故答案为：2或4或-10或16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．
3．（2022·安徽合肥·七年级期末）已知一个分式可以进行这样的变形：，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为________．
【答案】0或2##2或0
【分析】利用题目给出例子的解题思路，化简分式，分情况讨论出x的值即可．
【详解】解：，
若原式的值为整数，
则x-1=±1，
即x=0或x=2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查对新定义的理解以及分式的基本性质，关键要读懂新定义，能灵活运用分式的基本性质．

考点六 分式的规律性问题
例题：（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）观察下列各式：，-，，-，……，则第10个式子为_____．
【答案】
【分析】根据题目已给的式子探寻规律即可达到解答．
【详解】解：∵，-，，-，……，
∴可探寻的规律为，
∴第10个式子为-．
故答案为：-．
【点睛】本题主要考查了列代数式，确定单项式的符号，系数，x的次数与单项式所在的序号之间的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______．
【答案】
【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第个分式即可．
【详解】解：给定一列分式：，，，，，其中用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是；
根据你发现的规律，试写出第个分式，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022·广西贺州·七年级期末）观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
……
∴每3个数为一周期循环，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．
3．（2022·安徽合肥·七年级期末）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：______；
（2）计算结果等于______．
【答案】         
【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差；
（2）根据（1）的规律即可求解．
【详解】（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

第个等式为：，



．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．

考点七 判断分式变形是否正确
例题：（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级期末）下列各式中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）下列分式变形正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
2．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：∵分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，
∴A，B，C错误，
D中分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分子、分母、分式本身的符号中，改变其中两个符号，分式的值不变，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．

考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化
例题：（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）分式中的、都扩大3倍，分式的值（   ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】把原分式中的x换成3x，把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可．
【详解】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，
则有，即扩大3倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入计算得出结果．
【变式训练】
1．（2022·湖北·京山市实验中学八年级期中）将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【分析】根据题意将新的分式表示出来，并利用分式的基本性质进行变形，从而作出判断．
【详解】解：将原分式中的a（），b（）都扩大为原来的3倍，可得：
，
∴新分式的值扩大为原来的3倍，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质对分式进行变形是解决本题的关键．
2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（    ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化，即可得出答案．
【详解】解：把分式中的，都扩大2倍，
可得：，
∴把分式中的，都扩大2倍，分式的值扩大了2倍．
故选：C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解本题的关键在抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

考点九 最简分式、最简公分母
例题：（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是______．
【答案】②③##③②
【分析】利用最简分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：，因此①不是最简分式；
中分子和分母没有公因式，因此②是最简分式；
中分子和分母没有公因式，因此③是最简分式；
，因此④不是最简分式；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查最简分式的判断，解题的关键是掌握最简分式的定义．一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式．
【变式训练】
1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．
【答案】
【分析】先把分式的分母分解因式，然后再确定最简公分母即可．
【详解】解：∵，
∴、、的最简公分母为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
2．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）下列分式，，通分的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法即可判断．
【详解】解：三分式中的常数项系数的最小公倍数是20，a的最高次幂是1，b的最高次幂是2，c的最高次幂是3，
三分式的最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂，掌握最简公分母的求法以及定义是解题的关键．
3．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有__________个．
【答案】2##两
【分析】最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答．
【详解】解：是最简分式，
，不是最简分式，
是最简分式，
，不是最简分式，
故最简分式有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简最简分式，判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子、分母是不是有公因式．

考点十 通分
例题：（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
（1）
解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）
解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
【变式训练】
1．（2022·江苏宿迁·八年级期中）（1）约分：
（2）通分：与
【答案】（1）；（2）与
【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．
【详解】解：（1）；
（2）与最简公分母为：，
则：，
．
【点睛】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）将下列各分式通分：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案．
【详解】解：（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
3．（2021·全国·八年级课时练习）通分
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）与的最简公分母是6；
（2）与的最简公分母是3；
（3）与的最简公分母是2；
（4）与的最简公分母是．
【详解】（1）∵与的最简公分母是6，
∴=，=；
（2）∵与的最简公分母是3，
∴=，=；
（3）∵与的最简公分母是2，
∴=，=；
（4）∵与的最简公分母是，
∴=，=．
【点睛】本题考查了分式的通分，准确确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，是解题的关键．



一、选择题
1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）若分式的值为零，则m＝（　　）
A． B．5 C．±5 D．0
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件：，可以求解之．
【详解】解：,
,
解得，
．
故选B．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质以及分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质以及分式的混合运算法则，熟练掌握分式的约分、通分是解本题的关键．
3．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如果把分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（    ）
A．缩小10倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
【答案】B
【分析】分别用10x，10y去代换原分式中的x、y，再把代换后的分式进行化简与原式相比较即可．
【详解】解：分别用10x，10y去代换原分式中的x、y，
得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或者字母），分式的值不变．掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据最简分式的概念：分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，， 都不是最简分式；
∴只有是最简分式；
故选A．
【点睛】本题考查最简分式的概念：分式的分子和分母没有公因式．
5．（2022·天津市汇文中学八年级阶段练习）在式子：，，，，，中，分式的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母且不为0的式子为分式，依次判断即可．
【详解】解：在所有式子中，
为分式，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的定义，理解分式的定义是解题关键．
二、填空题
6．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）分式的最简公分母为____________．
【答案】
【分析】先确定最简公分母的系数，再取各分母的所有因式的最高次幂的积，即可得到答案．
【详解】解：分式的最简公分母为
故答案为：
【点睛】本题考查的是最简公分母的确定，掌握“最简公分母的含义”是解本题的关键．
7．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知，则_____．
【答案】
【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键．
8．（2022·浙江舟山·七年级期末）在分式中，当_________时，分式有意义；当___________，分式的值为零．
【答案】         
【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即；要使分式的值为零，则需要满足分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，．
【详解】解：分式有意义，则，即，
分式的值为零，则，解得
故答案为，
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式有意义，分式的分子为0分母不为0时，分式的值为0．
9．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）观察下列分式，探究其规律：，，，，……，按照上述规律，第n个分式是 _____．
【答案】
【分析】分子的规律：第n个，x的指数是3n+1；分母的规律：第n个，y的指数是n．
【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得：第n个分式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的问题，分别找出分式的分子和分母的规律是解决此类问题的关键．
10．（2021·江西南昌·八年级期末）若分式的值为正整数，则整数x的值为________．
【答案】0，1，2，5
【分析】先求分式的值为正数时，x的取值范围，再在范围内求使分式 的值为正整数的整数x的值．
【详解】解：当x+1＞0，即x＞-1时，分式 的值为正数，
要使分式 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，
解得x=0或1或2或5．
故答案为：0或1或2或5．
【点睛】本题考查了分式的值的探究，分式的值为正整数，需要从分式的意义，分母、分子的取值，综合考虑．
三、解答题
11．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：
（1）当x为何值时，分式的值为0
（2）当x=4时，求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可；
（2）把直接代入分式，计算即可．
【详解】解：（1）根据题意，
∵分式的值为0，
∴当x+1=0，即时，分式值为0；
（2）当x=4时， = = ；
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，以及求分式的值，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）化简约分
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)6b
(2)
(3)
【分析】（1）原式约去分子与分母的公因式即可；
（2）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可；
（3）分别分解分式的分子与分母，再约去分子与分母的公因式即可．
（1）
=
（2）

=
=
（3）

=
=
【点睛】本题主要考查了分式的约分，能够正确进行因式分解是解答本题的关键
13．（2022·全国·八年级专题练习）通分：
（1）与；            
（2）与；
（3）与；      
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】先找到最简公分母，然后通分．
【详解】（1）， ；
（2），；
（3），；
（4），，．
【点睛】本题考查了分式的通分，找到最简公分母是解题的关键．
14．（2022·云南昆明·八年级期末）观察下列各式：
，，，
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第10个等式是：____________；
(2)若n为正整数，请你猜想______；请证明你猜想的等式成立．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给式子可得；
（2）通过观察所给的式子可得．
【小题1】解：由题可得第10个等式是，
故答案为：；
【小题2】，
右边左边，
成立，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的规律是解题的关键．
15．（2023·安徽·九年级专题练习）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
（1）
解：根据已知规律，第5个等式为，
故答案为：；
（2）
解：根据题意，第个等式为，
证明：右边




=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
16．（2022·安徽淮南·一模）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第个等式：_____；
(2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已有等式的形式求解即可；
（2）根据等式推出一般性规律，求解，证明即可．
（1）
解：由题意得：第个等式为：，
故答案为：；
（2）
解：∵第个等式：，整理得：，
第个等式：，整理得：，
第个等式：，整理得：，

∴第个等式为：，
证明：，
，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式规律的探究．解题的关键在于根据已知的等式形式推导出一般性规律．
17．（2022·山东济南·八年级期中）阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【答案】(1)等式，分式
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；
（2）按照阅读材料中的设k法即可解答．
（1）
解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，
第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．
故答案为：等式，分式；
（2）
解：设，
则，，，
∴，
∴分式的值为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键．