人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题精练

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题10 最短路径问题

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．（2分）（2022春•定海区期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　）

A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ 

C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ

3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°

4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

5．（2分）（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（　　）

A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°

6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（　　）

A． B．α﹣90° C．2α﹣180° D．α﹣45°

7．（2分）（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（　　）

A．5 B．6 C． D．

8．（2分）（2022春•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

9．（2分）（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．（2分）（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）

A． B．5 C．3 D．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022春•临渭区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，在线段ED上存在一点P，使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小，则△PBF周长的最小值为 　   　．

12．（2分）（2022春•宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 　   　．

13．（2分）（2022春•青岛期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝　   　°时，△PDQ的周长最小．

14．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在四边形ABCD​中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝DC​，连接BD，△BCD​的面积为​，点E​是边AB​边上一动点，点P​在线段BD​上，连接PA，PE​，则PA+PE​的最小值是 　   　．

15．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF的周长最小时，则∠EAF＝　   　．

16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC＝∠BAC＝30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD＝∠CAD＝30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE＝∠DAE＝30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为 　   　．

17．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是 　   　．

18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝12．点M在BC边上，且MC＝BC，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．

（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？　   　（用“是”或“否”填空）

（Ⅱ）如果线段MP+NP存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．

19．（2分）（2022春•抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为 　   　．

20．（2分）（2022春•霞浦县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝　   　．

三．解答题（共8小题，满分60分）

21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，试在高AD上找一点E，使得△PEB的周长最短．

22．（6分）（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是 　   　；

②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 　   　；

（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，

①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；

②线段BC、DC、CE之间的数量是 　   　．

23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD，请在四边形ABCD内部找一点O．

（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹，不写作法．（请用黑色签字笔作图）

（2）这样作图的理由是 　   　．

24．（8分）（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．

25．（9分）（2021春•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，

（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；

（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．

26．（8分）（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．

（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；

（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；

（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．

27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．

（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；

（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；

（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）

（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．

28．（9分）（2020八上·椒江期中）如图

（1）（1分）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB　     　PC（填“ ”“ ”或“=”）；  

（2）（4分）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 ，请帮小明说明原因.  

（3）（4分）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，

①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？

②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？