高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合优秀达标测试

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6.2.1排列+6.2.2排列数 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1:排列的定义
题型2：排列的列举问题
题型3：排列数的计算、化简与证明
题型4：无限制条件的排列问题
题型5：有限制条件的排列问题
题型6：数字排列问题
题型7：排列的综合应用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析




知识点1：排列
（1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
知识点2：排列数与排列数公式
（1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
（2）排列数公式
①（连乘形式）：，，
②（阶乘形式），，
（3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示.

（4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示.
二、重点题型分类研究
题型1:排列的定义
典型例题
例题1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（    ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
例题2．（2022·高二课时练习）下面问题中，是排列问题的是（   ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
【答案】A
【详解】根据排列及排列数的定义，可得：
对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；
对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.
故选：A.
例题3．（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ）
A．10 B．60 C．243 D．15
【答案】B
【详解】不同的方法总数是
故选：B
例题4．（多选）（2022·高二单元测试）下列问题属于排列问题的是（    ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从10个人中选2人去扫地
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算
【答案】AD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．
故选AD.
同类题型演练
1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
【答案】D
【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．
故选:D．
2．（2022秋·吉林·高二校联考期末）从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有（    ）
A．11种 B．15种 C．30种 D．36种
【答案】C
【详解】从6名同学中选出正副组长各1名，不同的选法有种.
故选：.
3．（多选）（2022·高二课时练习）下列问题中，属于排列问题的是（    ）
A．有10个车站，共有多少种不同的车票
B．有10个车站，共有多少种不同的票价
C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段
D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法
【答案】ACD
【详解】A：有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；
B：有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；
C：平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；
D：从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题．
故选：ACD．
题型2：排列的列举问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
例题2．（2022·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素，，，中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素，，，，，，中任取2个元素的所有排列．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
(1)根据题意，从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列共有如下种：

.
(2)7个不同元素a，b，c，d，e，f，g中任取2个元素的所有排列共有如下种：


.
同类题型演练
1．（2023·高二课时练习）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．
【答案】共6种安排方案，树状图见解析
【详解】树状图如图所示
，
由树状图可知，共有6种不同的安排方案
2．（2022·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.
【答案】答案见详解．
【详解】写出所有不同的试验方法如下：
，，，，，，，，，
，，，，，共14种.
3．（2022·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．
【答案】答案见解析
【详解】根据题意，所有的信号为：
红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．
题型3：排列数的计算、化简与证明
典型例题
例题1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则，故．
故选：D
例题2．（多选）（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列等式正确的是（　　）
A． B．
C．！ D．
【答案】ACD
【详解】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，•，选项D正确．
故选：ACD．
例题3．（2022秋·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【详解】（1）证明：．
（2）证明：．
（3）由（2）知，
所以；
综上，.
例题4．（2022·高二课时练习）求证：（1）；
（2）.
【答案】见详解.
【详解】（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．
【答案】6
【详解】因为，
所以，
即，
解得（舍去）．
故答案为：6.
2．（2023·高二课时练习）计算：______．
【答案】
【详解】，
则.
故答案为：.
3．（2022·高二课时练习）求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明：.
(2)证明：.
4．（2022·全国·高三专题练习）（1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)；
（2）计算；
（3）求证：.
【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.
【详解】(1)∵中的最大数为，且共有个元素，
∴
(2) ；
(3)∵

所以.
题型4：无限制条件的排列问题
典型例题
例题1．（2022秋·新疆喀什·高二统考期末）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（    ）种不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
【答案】A
【详解】由题意得，从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，
共有种不同的送法，
故选:A
例题2．（2022秋·甘肃张掖·高二甘肃省民乐县第一中学校考期中）某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，
所以不同的报名方法有种.
故选：C.
例题3．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是___________.（结果用数字作答）
【答案】
【详解】从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，
则不同的安排方法数是.
故答案为：.
例题4．（2022秋·天津红桥·高二统考期末）在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法_______种．
【答案】12
【详解】先从A，B，C，D四位学生中，选出两人，再安排正、副班长即可，
共有：中选法.
故答案为：12.
同类题型演练
1．（2022秋·吉林·高二校联考期末）将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（    ）
A．240 B．120 C．60 D．40
【答案】B
【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，
所以不同分法的种数为，
故选：B.
2．（2022秋·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有(    )种
A．9 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【详解】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有种﹒
故选：B﹒
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【详解】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.
故选：C
题型5：有限制条件的排列问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（    ）
A．72 B．144 C．48 D．36
【答案】A
【详解】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法，
再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（    ）．
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】D
【详解】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况，
第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况，
第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，
共有种情况，所以.
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【答案】(1)156(2)108(3)284
（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．
（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）．
（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有 个．
由分类加法计数原理知，共有（个）．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)
（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
（8）
根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
（10）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【答案】D
【详解】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
2．（2023·高二课时练习）某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数.
（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；
（2）两个唱歌节目不相邻；
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
【答案】(1)；（2）；（3）.
【详解】解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法.
3．（2023·全国·高三专题练习）某种产品的加工需要经过道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(2)如果工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
(3)如果工序C，D必须不能相邻，那么有多少种加工顺序？（数字作答）
【答案】(1)96(2)48(3)72
（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（2）先排A，B这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；
（3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.
4．（2023·全国·高三专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
【答案】(1)2520(2)5040(3)288(4)1440
（1）问题即为从7个元素中选出5个全排列，有＝2 520种排法．
（2）前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有＝5 040种排法
（3）相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝＝288(种)．
（4）不相邻问题(插空法)：先安排女生共有种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法，故N＝＝1 440(种)．
5．（2023·高二课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.
【详解】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；
（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；
（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；
（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；
（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；
（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；
（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；
（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．
题型6：数字排列问题
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________
【答案】17
【详解】千位为和时，组成的四位数都比2134大，有个，
千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有个，
千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个，
则组成的四位数比2134大的一共有17个.
故答案为：17.
例题3．（2023·上海·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________．
【答案】48
【详解】从2，4这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余4个数字在其他位置全排列，有 种，
所以偶数的个数为个，
故答案为：48 .
例题4．（2023·高二课时练习）（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？
（3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
（5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？
【答案】（1）100    （2）180    （3）180    （4）48    （5）120
【详解】解：（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成100个无重复数字的三位数；
（2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个三位数；
（3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个数字允许重复的三位数；
（4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，
所以，可以组成个数字允许重复的三位数；
（5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有种，
所以，可以组成个六位数.
例题5．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
【答案】(1)个(2)个(3)个
【详解】（1）末位是0，有个，
末位是2或4，有个，
故满足条件的五位数共有个.
（2）法一：可分两类，0是末位数，有个，
2或4是末位数，则个.
故共在个.
法二：四位从奇数1，3中取，有；
首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个；
故共有个.
（3）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有个；
当末位数字是4，而首位数字是3吋，有个.
故有个.
法二：不大于21034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身.
而由组成的五位偶数有个.
故满足条件的五位偶数共有个.
同类题型演练
1．（2022秋·北京通州·高二统考期末）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（    ）
A．60个 B．106个 C．156个 D．216个
【答案】C
【详解】第一类，0在个位，共有种；
第二类，0不在个位，从2、4中选一个数排个位，种方法；从余下的数字中选一个排千位，种方法；再排十位、百位，种方法；所以共有种；
所以这样的四位偶数共有种，所以C正确；
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答）
【答案】
【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:

然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二专题练习）从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到______个不同的对数值．
【答案】53
【详解】①当取的两个数中有一个是1时，则1只能作真数，
此时，或3或4或5或6或7或8或9；
②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个，分别作为底数与真数，有个对数，
但是其中，，，．
综上可知：共可以得到（个）不同的对数值．
故答案为：53
5．（2022·全国·高三专题练习）用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．
(1)把这些自然数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？
(2)其中的四位数中偶数有多少个？它们各个数位上的数字之和是多少？它们的和是多少？
【答案】(1)35
(2)10；60；21768
【详解】（1）1位自然数有个；
2位自然数有个；
3位自然数有个；
4位自然数中小于1230的有“10XX”型个，1203共3个；
所以1230是此数列的第项.
（2）四位数偶数有个位是0和个位是2两种情况，
其中个位是0有种；个位不是0有种.
所以四位偶数共有10个.
它们各个数位上的数字之和为；
这10个偶数中，个位是2的有4个；
当个位是0时由得十位、百位、千位是1，2，3的各有两种；
当个位不是0时，由得千位是1，3的个两种，百位、十位是1，3的各1种；
所以它们的和为
题型7：排列的综合应用
典型例题
例题1．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）､､､､､六人站成一排，站第三位，不站在两端，和相邻，则不同排列方式共有（    ）
A．16种 B．20种 C．24种 D．28种
【答案】B
【详解】符合要求的排法可分为三类，
第一类站在第二位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排，有一种完成方法，再排，有种排法，再排其余两人有排法，由分步乘法计数原理可得第一类共有排法种，即8种排法，
第二类站在第四位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排，有一种完成方法，再排，有种排法，再排其余两人有排法，由分步乘法计数原理可得第一类共有排法种，即8种排法，
第三类站在第五位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排，有一种完成方法，再排，有种排法，再排其余两人有排法，由分步乘法计数原理可得第一类共有排法种，即4种排法，
由分类加法计数原理可得符合要求的排法共有种，即20种排法.
故选：B.
例题2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）小陈准备将新买的《尚书·礼记》、《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】先将《论语》、《诗经》两书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.
先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》、《诗经》，两书的排法种类为.
所以，不同的摆放方法有种.
故选：B.
例题3．（多选）（2022秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（    ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
【答案】ABD
【详解】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法，
再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A正确；
B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法，
再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B正确；
C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法，
剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，
所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C错误；
D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法，
任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法，
任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，
所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D正确.
故选：ABD.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目．请回答下面的问题．（写出必要的数学式，结果用数字作答）
(1)3名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
(3)甲、乙、丙三人按身高从左到右有多少种不同的排法？（甲、乙、丙3名同学身高互不相等）
【答案】(1)1440(2)3720(3)840
【详解】（1）解：根据题意，分2步进行分析：
①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位．
②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则三名女生不能相邻的排法有种；
（2）解：根据题意，分2种情况讨论：
①女生甲站在右端，此时将其余6人全排列即可，有种情况，
②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，
则此时有种站法，
所以一共有种站法；
（3）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有种结果，
要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有；
同类题型演练
1．（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（    ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．18种
【答案】A
【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.
第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；
第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；
第三步，语文与生物的排列种类为.
所以，总的排列顺序有.
故选：A.
2．（2022春·宁夏银川·高二校考阶段练习）五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”不相邻的排法共有______种.
【答案】72
【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，共有种排法，
此时共有四个位置可以插放“木、土”，
所以“木、土”不能相邻的排法共有种排法.
故答案为：72.
3．（2022·全国·高三专题练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
4．（2022秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
【答案】(1)144(2)504
【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有种，然后“礼”“御”“书”全排排，有种，此时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有种，
则不同的排课顺序有种．
（2）若“射”排在第四节，则有种不同的排课顺序；
若“射”不排在第四节，则有种不同的排课顺序．
由加法原理得，共有种不同的排课顺序．
5．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答）
(1)两端是女生，有多少种不同的站法？
(2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？
【答案】(1)720；(2)1440；(3)2520；
（1）选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，
所以两端是女生的不同站法有种.
（2）先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，
所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.
（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有种.
三、高考（模拟）题体验
1．（2022·青海·校联考模拟预测）某研究室有2男6女共8名教研员，研究室东、西两区各有4张办公桌，则两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】没有位置限制的8人的坐法有种，其中男教师坐在同一区的坐法有种，
所以两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为，显然选项A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
2．（2022·全国·赣州市第三中学校联考模拟预测）中国习俗讲究“十全十美､红红火火”.某次元宵节游园会中有这么一个活动：一个不透明的箱子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中有5个红球，10个黑球，每次随机取出一球（取出后不放回），取出的第10个球为红球则获得小礼品一份，每人只能参与该游戏一次.则小明参与该游戏获奖的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】（方法一）从箱子中逐次取出15个球，一共有种取法，
而第10个球确定为红球，有5种取法，其余14个球可以随机排列，共有种方式，
所以取出的第10个球为红球的概率为
（方法二）可以类比为3个小球，2黑1红，
共有红黑黑､黑红黑､黑黑红3中取法，
则取出的第二个小球为红球是黑红黑1种取法，
所以取出的第二个小球为红球的概率为.
故选：B
3．（2022·广东·统考模拟预测）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（    ）
A．12种 B．28种 C．20种 D．16种
【答案】C
【详解】若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）．故共有种不同的安排方案，
故选：C．
4．（2022·重庆北碚·西南大学附中校考模拟预测）用1，2，3，4，5排成一个没有重复数字的五位数，使得任意两个相邻数字之差的绝对值至少是2．则这样的五位数有__________个．
【答案】14
【详解】考虑按中间一数分类：
（1）若，则2与4在同侧，3与5在同侧，有4种排列：；
（2）若，则1与4在同侧，3与5在同侧，有2种排列：；
（3）若，则1与4在同侧，2与5在同侧，有2种排列：；
（4）据对称性，与（1）相同，有4种排列；与（2）相同，有2种排列.
因此，这样的五位数总共有14个.
故答案为：.
5．（2022·贵州贵阳·统考一模）在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.
【答案】12
【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有、两种，
对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有种，
所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为种.
故答案为：12.
6．（2022·湖南长沙·雅礼中学校考一模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种，
故答案为：.