高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布精品课后复习题

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7.5 正态分布 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 正态曲线及其性质
题型2：正态分布的概率计算
题型3：正态分布的应用
题型4：标准正态分布
题型5：3原则及其应用
题型6：数学建模：正态分布与统计知识的综合应用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析





知识点1：正态曲线
（1）连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
（2）正态的曲线的定义
函数，其中,为参数.
显然对于任意，，它的图象在轴的上方，可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
①函数的自变量为,定义域为
②解析式中含有两个常数和,这两个是无理数，其中为圆周率，为自然对数的底数
③解析式中含两个参数和,其中可取任意实数，,不同的正态曲线和的取值是不同的.
④解析式的前面是一个系数，后面是一个以为底的指数函数的形式,指数为,其中这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致.
（3）正态曲线的几何意义
由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是落在区间的概率的近似值.
（4）正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
知识点2：正态分布
（1）正态分布
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
（2）标准正态分布
若随机变量,则当,时，称随机变量服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数解析式为,,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.
知识点3：正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.

二、重点题型分类研究
题型1: 正态曲线及其性质
典型例题
例题1．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量，，对应曲线的序号分别依次为（    ）.

A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【答案】A
【详解】由题意，得，，，
因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
例题2．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【答案】C
【详解】由随机变量均服从正态分布，，，
结合正态概率密度函数的图象，可得，，
即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.
故选：C.
例题3．（2022·浙江·模拟预测）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）
A．越大，男生成绩在的概率越小
B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5
C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等
D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等
【答案】D
【详解】由题知，服从正态分布，
所以平均值为72，且和概率均为0.5，故B正确；
当越大，则成绩越分散，在固定范围的概率越小，故A正确；
因为，
所以成绩小于71.99与大于72.01的概率相等，故C正确；
因为成绩落在范围包括，且范围内概率不为0，
所以故D错误.
故选：D
例题4．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）已知三个正态密度函数的图像如图，则下列结论错误的是（    ）．

A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABC
【详解】由正态密度函数和的图像关于同一条直线对称，所以；
又由的图像的对称轴在的图像的对称轴的右边，故有；
因为越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”，
由图象知知正态密度函数和的图像一样“瘦高”，的图像明显“矮胖”，
从而可知．所以A，B，C都是错误的，D正确．
故选：ABC.
例题5．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）以下关于正态密度曲线的说法中正确的是（    ）．
A．曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交
B．曲线关于直线对称
C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状
D．曲线与轴之间的面积为1
【答案】BCD
【详解】对于A中，曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴不相交，所以A错误；
对于B中，正态密度曲线图象与性质，可得曲线关于直线对称，所以B正确；
对于C中，正态密度曲线性质，可得曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状，所以C正确；
对于D中，正态密度曲线性质，可得曲线与轴之间的面积为1，所以D正确.
故选：BCD
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）若随机变量，其分布密度函数为，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】解：因为随机变量，其分布密度函数为，所以，，所以
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】A
【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.
故选：A.
3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.因此，，.
故选：BD.
4．（多选）（2022春·江苏·高二校联考期末）阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（    ）


A．乙品种水蜜桃的平均质量
B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数
【答案】ABC
【详解】对于选项A：，故A对；
对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对；
对于选项C：，故C对；
对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错.
故选：ABC.
5．（多选）（2022春·山西太原·高二校考期中）已知随机变量服从正态分布，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】∵随机变量服从正态分布，所以，故A正确，B错误；
，故D正确，C错误.
故选：AD
题型2：正态分布的概率计算
典型例题
例题1．（2023·上海·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为随机变量服从正态分布，则，
所以，.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，则，
又，则，解得
故选：A
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且对任意，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为随机变量，且符合，
所以其图像关于直线对称，即，
故选：D
例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知随机变量，且，则的最小值为（    ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B
例题5．（2023·北京·高三统考阶段练习）设随机变量，，，则______.
【答案】
【详解】解：由于随机变量，所以概率分布关于对称，
且，
所以，解得.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为（    ）（附：若，则，，）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
【答案】D
【详解】由题意，正态分布的标准差为5，故，故在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（    ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【详解】由可得，即.又，由正态分布曲线的对称性可得
故选：D
3．（2023秋·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，所以由正态分布的对称性可知，，.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则（       ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
题型3：正态分布的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（    ）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
【答案】B
【详解】解：因为，所以，，所以
所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（人）；
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某种包装的大米质量ξ（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米3000袋．大米质量在以上的袋数大约为（    ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【详解】因大米质量，且，则，
所以大米质量在以上的袋数大约为.
故选：C
例题3．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________株.（若，，）.
【答案】1359
【详解】由已知发现株高服从正态分布
所以，，所以，

株高在的约有
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
【答案】8
【详解】因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，
所以.
所以该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8
例题5．（2023·高二课时练习）在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.
【答案】1500
【详解】因为考试的成绩服从正态分布，
根据，，则，
得，
即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，
由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．
故答案为：1500.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分（含分和分）之间的人数为人，则可以估计参加本次联考的总人数约为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，若表示数学考试成绩，则，而，
所以，故参加本次联考的总人数约为人.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（    ）
A．300 B．400 C．600 D．800
【答案】C
【详解】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，
故选:C．
3．（2023·全国·高三专题练习）日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，.小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布.已知小明骑车上学迟到的概率为.某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早_____________分钟.
【答案】20
【详解】解：由小明骑车上学迟到的概率知，小明骑车花费分钟才会迟到.
若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，
故小明应该至少比平时出门的时间早分钟.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10000株水稻，株高在(80,90)的约有________株．
(附～，，)
【答案】1359
【详解】解：由知，，
所以，
∴10000株水稻，株高在(80，90)的约有1359株．
故答案为：1359
5．（2022春·江苏连云港·高二统考期末）为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有___________人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
【答案】26
【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
题型4：标准正态分布
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布，若住同一地方的甲、乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（    ）
A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②
【答案】B
【详解】对于甲，若有分钟可走，走第一条线路赶到的概率为，
走第二条线路赶到的概率为，
，所以甲应走线路②；
对于乙，若有分钟可走，走第一条线路的概率为，
走第二条线路赶到的概率为，
，所以乙应走线路①.
故选：B.
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当n比较大时，可视为服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数，记，则（    ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率单调增大
【答案】AC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，
，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
例题3．（2022·全国·高三专题练习）为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.
【答案】（1）103分；（2）①117；②4968名.
【详解】：
（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，
根据题意，，
即.
由，得
解得，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
②，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．
同类题型演练
1．（多选）（2022·高二单元测试）（多选）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】因为随机变量服从标准正态分布，
所以正态曲线关于对称，如图所示.

又，，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B不正确；
因为，故选项C正确；
，故选项D不正确；
故选：AC.
2．（2022·全国·高三专题练习）记（k，b为实常数），若，，则__________.
【答案】-3或3
【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
3．（2022·全国·高三专题练习）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
【答案】59.9
【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
题型5：3原则及其应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.
(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；
(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02
9.78
10.04
9.92
10.14
10.04
9.22
10.13
9.91
9.95
10.09
9.96
9.88
10.01
9.98
9.95
10.05
10.05
9.96
10.12
经计算得，，，
其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.
【答案】(1)0.052
(2)①需对本次的生产过程进行检查； ②0.014.
【详解】（1）抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为0.9974，
从而主要成分在该区间之外的概率为0.0026，故，
X的数学期望为.
（2）①由，得估计值为，
结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在之外，
因此需对本次的生产过程进行检查.
②设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件，
则，
如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为：
，
故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为0.014.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：
周末运动时间（分钟）






人数






（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）由频数分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；
参考数据1：当时，，，．
参考数据2：，.
【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）．
【详解】（1）随机变量的可能取值为、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：








所以；
（2），
又，，
所以，
所以或，
所以，所以.
例题3．（2022·湖南郴州·高二安仁县第一中学阶段练习）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)4093
(3)在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由题意知样本的平均数为，
所以．
又，所以．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．
（3）对应的频率比为，即为2:3，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．
设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，
则，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2．
例题4．（2022春·河北保定·高二校联考阶段练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量（单位：）服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.
(2)规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.
①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）
②从该种零食中任意挑选袋，合格品的袋数为，若的数学期望大于58，求的最小值.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)该质检员的决定有道理，理由见解析
(2)①  ；②  71
(1)
因为，所以，，
所以，，
所以.
因为0.00135远小于，所以此事件应为小概率事件，
而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，说明小概率事件确实发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理.
(2)
①因为，，所以，，
由题意可知当零食质量X满足时为合格品，
所以这种零食的合格率为.
②由题意可知，
则，
则，故n的最小值为71；
[注]在第（2）问第2小问中，若写为，则，
则，故n的最小值为71.
同类题型演练
1．（2022秋·四川攀枝花·高二统考期末）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，. 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：

(1)求图中的值；
(2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？
(3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差. 已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）．
附：，，.
【答案】(1)
(2)85
(3)23
(1)
由
得
(2)
由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生.
因为，

记达到等级的最低分数为x，则，
则由，解得
所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上.
(3)
由题知，
因为
所以
故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人.
2．（2022·全国·高三专题练习）浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

(1)用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：；；；；；.
【答案】(1)0.38
(2)当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
(1)
由题意得：，所以，，则，，所以，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
(2)
由，解得：，所以，采用A款包装盒获得利润的数学期望，
采用B款包装盒获得利润的数学期望，
令，解得：a=，
由于，令，解得：，
令，解得：，
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
3．（2022·高二课时练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：
87   87   88   92   95   97   98   99   103   104
设这10个数据的平均值为，标准差为．
（1）求与．
（2）假设这批零件的内径（单位：）服从正态分布．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于的个数为，求；
②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若，则，，取．
【答案】（1）；；（2）①；②需要进一步调试；理由见解析．
【详解】解：（1），
，
则．
（2）①因为，
所以，
则，
所以，
故．
②因为，
所以5个零件中恰有1个的内径（单位：）
不在内的概率为，
因为，所以试生产的5个零件就出现了1个不在内，
出现的频率是0.01485的十三倍多，根据原则，需要进一步调试．
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.
（2）为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y).
【答案】（1）；（2）设备M的性能等级为丙级；（3）.
【详解】（1），
，
；
（2），，
，，
，，
，
，
，
设备M的性能等级为丙级；
（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，
则，于是；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，
由题意可知Y2的分布列为：
Y2
0
1
2
P



故.
则次品总数Y的数学期望.
5．（2022春·四川·高三树德中学校考开学考试）年月日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于年前达到峰值，努力争取年前实现碳中和．某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．
树苗高度（）



树苗售价（元/株）





（1）现从株树苗中，按售价分层抽样抽取株，再从中任选三株，求售价之和高于元的概率；
（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布，并用该企业采购的株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且．
①若该育苗基地共有株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列，求的估计值．
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选株，记树苗高度超过的株数为，求随机变量的分布列和期望．
参考数据：若，，，．
【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，期望为.
【详解】（1）高度在内的占比为，
高度在内的占比为，
高度在内的占比为，
从这株树苗中，按售价分层抽取株，其中株元，株元，株元，
再从中任选三株，售价之和高于元，可以为、、、、，
故所求概率为；
（2）①由频率分布直方图可得，
，
，
所以，；
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选株，高度超过的概率为，
由题意可知，则,，
，，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：














随机变量的数学期望为.
题型6：数学建模：正态分布与统计知识的综合应用
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）一研究机构从某市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右且垃圾数量超过28吨/天的社区确定为“超标”社区．
垃圾量（吨）







频数
5
6
9
12
8
6
4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天的垃圾量的平均值；（精确到0.1）
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得，请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，研究机构决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求的分布与数学期望．
【答案】(1)平均值为22.8吨
(2)51
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由频数分布表，
可得，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨．
（2）由已知及（1）知，，于是．
因为，
所以估计这320个社区中“超标”社区的个数为51．
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，于是的可能取值为1、2、3、4，且，，，，所以的分布列如下：










由此得的数学期望．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从农场购进一批优质棉花，厂方技术员从农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单位：mm）
[23，25）
[25，27）
[27，29）
[29，31）
[31，33）
[33，35）
[35，37）
[37，39]
频数
4
9
16
24
18
14
10
5
(1)求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布
其中，
①利用正态分布，求；
②纺织厂将农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值（i＝1，2…，20），数据如下：










24.1
31.8
32.7
28.2
28.4
34.3
29.1
34.8
37.2
30.8










30.6
25.2
32.9
27.1
35.9
28.9
33.9
29.5
35.0
29.9
若20个样本中纤维均值的频率不低于①中即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若，则，，
【答案】(1)31；12.28
(2)认为该批优质棉花合格，理由见解析
【详解】（1），
；
（2）棉花的纤维长度服从分布，其中，．
①利用正态分布，则，
②，
故，满足条件，
∴认为该批优质棉花合格．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩






人数
5
15
35
30
10
5
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【答案】(1)
(2)1587人
(3)分布列见解析，
（1）
由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）
由表格中的数据可知，，
又，即，                        
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
（3）
考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则，  ，   ，
，    ，   ，
故Y的分布列为：
Y
0
3
4
6
7
10
P






∴．
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）某防护服生产企业为了奖励员工的辛勤劳动和提升员工工作效率，决定制定一个奖励方案，首先从1000名员工中随机抽取50人进行统计平均每天完成防护服的件数，统计如下表所示：
平均每天完成件数X





人数
6
14
22
5
3
(1)请根据表中数据估计样本数据的平均数；（每组完成件数区间以区间中点进行估计）；
(2)经过企业领导研讨，决定分层次对优秀员工进行物质奖励，首先预设全体员工平均每天完成件数X服从正态分布，其中为（1）中的，．其次根据表中样本数据的频率近似为总体的频率，奖励分三个等级：、、，分别对应每人价值50元、100元、200元的物品奖励，若该等级员工频率不低于预设的概率，则该等级的每位员工的奖励翻倍，求该企业需要准备的奖品总价值的期望．
附：若X服从正态分布，则，，．
【答案】(1)57
(2)65600元
（1）

（2）
由（1）知，根据表格数据可知X在区间的频率为
，
预设的概率为；
X在区间的频率为，
而预设的概率为；
X在区间的频率为，
而老板的期望概率为；
故该企业奖励的物品总价值Y的期望
元．
2．（2022春·山西·高二统考阶段练习）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品.
(1)从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.
附：若，则，，.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析
(1)
因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，
，
，
所以Y的分布列如下：
Y
0
1
2
P




故.
(2)
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为
，
由，可令，，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，，
可得，
有
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.
3．（2022春·云南昆明·高二云南师大附中校考期中）为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率分布表．
竞赛成绩







人数
6
10
18
33
16
11
6
(1)求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布，用样本估计总体，近似为样本均值，近似为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：）
①如果按照的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；
②若该市共有10000名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．
附：若随机变量X服从正态分布，则，．
【答案】(1)；
(2)①分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖 ；②
(1)
由频率分布表可得


(2)
该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布，
①设竞赛成绩达到a及以上为特等奖；成绩达到b但小于a为一等奖，成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，则
，
由于，因此；
由于，
因此，
所以分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖．
②
估计参赛者中超过80分的人数为．
三、高考（模拟）题体验
1．（2022·全国·模拟预测）已知随机变量，且，则（    ）
A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.9
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，
故选:A.
2．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）下列判断错误的是（    ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若方差，则
【答案】D
【详解】A选项：由题意，，又随机变量服从正态分布，，故A选项正确；
B选项：每一组数据均减去一个数字，不影响整体的稳定程度，故方差不变，B选项正确．
C选项：因为随机变量服从二项分布，，，故C选项正确；
D选项：因为方差，，故D选项错误．
故选：D．
3．（多选）（2022·江苏南京·模拟预测）已知随机变量，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由，则，
对于A，由，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，则，，，故C正确；
对于D，由C可知，，故D错误.
故选：AC.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【答案】##．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知随机变量服从，且，则__________.
【答案】3
【详解】因为，所以正态曲线关于对称，且，所以，所以.
故答案为：3
6．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.
【答案】##0.15625
【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.
故答案为：
7．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）已知随机变量，，，______.
【答案】
【详解】已知随机变量，知，
因为,
所以.
故答案为：.
8．（2022·吉林·吉林省实验校考模拟预测）基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，年有名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩．笔试成绩高于分的学生进入面试环节．
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取人，求这人中至少有一人进入面试的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若，则，，，．
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
（1）解：由题意可知，，则，
所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取人，这人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，
则，，
，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：












故.
9．（2022·广西桂林·校联考模拟预测）W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
产品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]

件数
4
27
27
80

产品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]

件数
36
20
6

根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品．， ，．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差．
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析
(2)数学期望是（元）；方差是
（1）
依题意，有 ，
所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．
生产线正常工作，次品不能多于，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
（2）
依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为．
记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布，
，
则， ，
所以的数学期望是（元），
方差是．
10．（2022·全国·模拟预测）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：
得分







频数
25
150
200
250
225
100
50
(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）
(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）
参考数据：；；，.
【答案】(1)，
(2)（元）
（1），，所以.
（2）设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.，，其分布列为
N
1
2
P
0.8413
0.1587
所以.设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额，则T的可能取值为10，20，由题意知，，所以随机变量T的分布列为
T
10
20
P


.所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为（元）.