人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品精练

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考期中）四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（    ）

A．37种 B．65种 C．96种 D．108种

【答案】B

【详解】若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有种方法，

若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有种方法，

故不同的选法方案有种.

故选:B.

2．（2022秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ）

A．5 B．7 C．8 D．12

【答案】C

【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．

故选：C．

3．（2022春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（    ）

A．7种 B．12种 C．4种 D．3种

【答案】A

【详解】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,

共7门,

故该同学的不同选法共有7种.

故选:A

4．（2022秋·河北承德·高二校联考阶段练习）一位妈妈带着三个孩子买玩具，每个孩子从五种不同的玩具中任选一个，每种玩具至少有3个，则不同的选法有（    ）

A．15种 B．125种 C．25种 D．150种

【答案】B

【详解】由题知，每个孩子都有5种选择，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法.

故选：B

5．（2022秋·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（    ）

A．32 B．34 C．36 D．38

【答案】C

【详解】在循环赛阶段，4个小组，每个小组由4支球队组成，每个球队都要进行三场比赛，故每组要进行场，4组要进行场；

在淘汰赛阶段，第一轮：8支球队，2支一场，则共进行；

第二轮：8支球队，2支一场，共进行场，

此时决出分别争夺冠亚军、第三四名、第五六名、第七八名的球队，再分别进行4场，决出冠军、亚军、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.

综上，可得共进行场.

故选：C.

6．（2022·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ）

A．6种 B．9种 C．11种 D．23种

【答案】B

【详解】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，

当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，

所以A拿b时有三种不同的分配方式；

同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，

由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；

解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，

如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，

接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，

由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．

故选：B.

7．（2022·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）．

A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

【答案】B

【详解】由题知后三位数字之和为4，

当一个位置为4时有004，040，400，共3个；

当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；

当三个位置和为4时112，121，211，共3个，

所以一共有15个.

故选：B

8．（2022·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（    ）．

A．80种 B．120种 C．160种 D．240种

【答案】B

【详解】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择；

第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况，

①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2中选择，

②5号与3号栽种相同，情况同上，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；

综上所述，种.

故选：B.

二、多选题

9．（2022秋·湖南长沙·高二周南中学校考期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（       ）

A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】BD

【详解】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有种不同的选法，所以该选项错误：

对B，若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确；

对C，若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；

对D，若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确.

故选：BD

10．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（    ）

A．最高处的树枝为G，I中的一个

B．最低处的树枝一定是F

C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种

D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

【答案】AC

【详解】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项正确，B错误；

先看树枝，有4种可能，若在，之间，

则有3种可能：①在，之间，有5种可能；

②在，之间，有4种可能；

③在，之间，有3种可能，

此时树枝的高低顺序有（种）。

若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，

若在，之间，则有3种可能，

若在，之间，则有三种可能，

此时树枝的高低顺序有（种）可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.

故选：AC.

三、填空题

11．（2022秋·江苏·高二校联考阶段练习）某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.

【答案】20

【详解】若乙选数学史：

丙若选数学史，则丁有2种选法；丙若选物理模型化思维，则丁有3种选法；

丙若选英语经典阅读，则丁有2种选法；丙若选《红楼梦》人物角色分析，则丁有3种选法，共10种，

若乙选物理模型化思维，同理有10种.

故共有20种.

故答案为：.

12．（2022春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4号队伍，韩国赛区1，2，3号队伍，欧洲赛区1号队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战.则会出现___________种不同的对局情况.

【答案】

【详解】记中国赛区1，2，3，4号队伍分别为，韩国赛区1，2，3号队伍分别为，欧洲赛区1号队伍为，

根据题意，只能对战中的一支队伍，

当对战时，可以对战中的一支队伍，

若对战，则只能对战，故只能对战，只有1种情况；

若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况；

若对战，则只能对战，故只能对战，只有1种情况；

当对战时，只能对战中的一支队伍，

若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况；

若对战，则可以对战中一支队伍，对战剩下的队伍，一共有2种情况；

综上：对局情况一共有种.

故答案为：.

四、解答题

13．（2022秋·江苏盐城·高二校考期中）有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加）

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限.

【答案】(1)

(2)

（1）每人都可以从这三个智力竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．

根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为．

（2）每项限报一人，但每人参加的项目不限．

因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参加．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为．

14．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的

(1)无重复数字的三位数？

(2)小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】(1)648

(2)379

(1)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．

(2)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数．

 B能力提升 

15．（2022秋·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）某学校共有20人自愿组成数学建模社团，其中高一年级5人，高二年级8人，高三年级7人.

(1)每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法?

(2)选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法?

（作答要求：除了写清楚列式计算的步骤，还需要写清楚文字说明）

【答案】(1)280；

(2)131.

(1)根据题意，共分为3步.

第1步：从高一学生中选出1人，有5种选法；第2步：从高二学生中选出1人，有8种选法；第3步：从高三学生中选出1人，有7种选法.

由分步乘法计数原理可得，共有5×8×7=280种选法；

(2)根据题意，可分为3类.

第1类：选出的是高一、高二学生，有5×8=40种选法；第2类：选出的是高一、高三学生，有5×7=35种选法；第3类：选出的是高二、高三学生，有8×7=56种选法.

由分类加法计数原理可得，共有40+35+56=131种选法.

16．（2022·全国·高二专题练习）设，，且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.

(1)求B中的两位数和三位数的个数；

(2)B中是否存在五位数、六位数？

(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素.

【答案】(1)两位数共有种，三位数有种

(2)五位数存在，不存在六位数

(3)4012

(1)两位数中，十位上的数字可取1，2，3，…，9，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，从而满足题意的两位数共有（种）.

对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1，2，3，…，9；再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9，故有8种取法；

最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于9，故有6种取法，从而符合题意的三位数有（种）.

(2)五位数存在，如12340就是其中一个；不存在这样的六位数.理由如下：仿照（1）的解法，十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上有2种取法，个位上有0种取法，矛盾.

(3)由（1）可得，符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有（个）.四位数中千位上是1的有（个）；千位上是2，3的也各有192个，由于.所以符合题意的数是千位上是4的最小的数，即B中第1081个元素是4012.

C综合素养

17．（2022·高二课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．

（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？

（2）可以排成多少个三位数？

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

【答案】（1）125个；（2）100个；（3）30个.

【详解】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．

（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．

（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；

一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，

所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．

因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．

18．（2022秋·全国·高二专题练习）如图所示的，，，按照下列要求涂色．

（1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？

（2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？

（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？

【答案】（1）24；（2）18；（3）6.

【详解】（1）涂区有3种涂法，，，区域各有2种不同的涂法，

由分步乘法计数原理知将，，，四个区域涂色共有种不同的涂色方案；

（2）恰好用3种不同颜色涂四个区域，则，区域或，区域或，区域必同色，

由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案；

（3）若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则，区域必同色，且，区域必同色，

先从3种不同颜色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法，

由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂完四个区域，共有种不同的涂色方案．