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    【同步讲义】(苏教版2019)高中数学必修一:第01讲 集合 讲义
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    【同步讲义】(苏教版2019)高中数学必修一:第01讲 集合 讲义

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    第一讲 合的概念与表示

    知识梳理

    1.元素与集合

    (1)集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合.

    (2)元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写的拉丁字母来表示.

    (3)元素与集合间的关系:

    a是集合A的元素,就记作aA,读作a属于A

    a不是集合A的元素,就记作aAaA,读作a不属于A

    (4)集合中元素的特征:确定性无序性互异性.

    (5)常见数集

    集合

    自然数集

    正整数集

    整数集

    有理数集

    实数集

    记法

    N

    N*N

    Z

    Q

    R

     

    (6)集合相等的概念

    如果两个集合所含的元素完全相同(A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等.

    2.集合的表示法

    (1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{ }”内,元素之间用逗号分隔,这样表示集合的方法称为列举法.

    (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法.

    [教师点拨]

    (1)使用列举法表示集合应注意以下问题:

    元素之间用隔开;元素不能重复;元素没有顺序.

    (2)使用描述法表示集合应注意以下问题:

    写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)

    说明该集合中元素的性质;

    3.集合的分类

    按照集合中元素的多少,集合可以分为有限集和无限集.

    (1)含有有限元素的集合叫作有限集;

    (2)含有无限个元素的集合叫作无限集.

    (3)不含任何元素的集合叫作空集,记作.

    [教师点拨]

    {0}不是同一个集合,{0}中含有一个元素0,而中没有任何元素.

    典型例题】

    考点:集合的概念

    1. 下列给出的对象中,能构成集合的是

    A. 一切很大的数 B. 无限接近的数
    C. 聪明的人 D. 所有的直角三角形

    【答案】

    D

    【解析】

    【分析】本题考查了集合的含义的相关知识,试题难度容易.
    【解答】解:对于选项 A :一切很大的数; :无限接近零的数; :聪明的人,但是描述不够准确具体,元素不能确定,所以都不正确;
    选项 D :所有的直角三角形,元素是确定的,具体的,是正确的.
    故选 D   

    1. 下列对象能组成集合的是

    A. 中央电视台著名节目主持人 B. 我市跑得快的汽车
    C. 上海市所有的中学生 D. 香港的高楼

    【答案】

    C

    【解析】

    【分析】本题考查了集合的含义的相关知识,试题难度容易.
    【解答】解:对于 著名无明确标准;
    对于 的标准不确定;
    对于 的标准不确定,因而 均不能组成集合.
    而对于 ,上海市的中学生是确定的,能组成集合.
    故选 C   

    考点二:元素与集合的关系

    1. 填空:

              __                    

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    本题考查了元素与集合的关系的相关知识.
    结合 不是整数, 不是有理数, 是自然数直接写出结果即可.

    【解答】

    解:因为 不是整数, 不是有理数, 是自然数,

    故答案为

      

    1. 已知集合的数构成,则有

    A.  B.  C.  D.

    【答案】

    C

    【解析】

    【分析】本题考查了元素与集合的关系的相关知识,试题难度容易
    【解答】解:很明显 不满足不等式,而 满足不等式,只有 C 正确.
    故选 C   

    1. ,则          

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    分别等于集合中的元素列方程求解,注意用互异性检验就是了.
    此题考查的是元素与集合的关系,属基础题.

    【解答】

    解:由 ,得 ,违背互异性;
    ,得 ,其中 违背互异性;
    ,得 ,或 ,两者都违背互异性.
    综上可知
    故答案为:

      

    1. ,则实数的值为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】

    B

    【解析】

    【分析】

    本题主要考查集合中元素的性质.
    根据条件得到 ,结合集合中元素的互异性,即可得到答案.

    【解答】

    解:当 时,有 违背集合中元素的互异性,故
    必有 ,解得: 舍去
    故实数 的值为
    故选 B

      

    1. ,集合中含有三个元素

    求元素应满足的条件;

    ,求实数

    【答案】

    解:根据集合元素的互异性可知,

    ,且

    ,又

    【解析】本题考查了集合中元素的性质的相关知识,试题难度较易
    考点三:集合的表示

    1. 用列举法表示集合   

    A.  B.
    C.  D.

    【答案】

    B

    【解析】

    【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识,试题难度容易.
    【解答】解:
    故选 B   

    1. 集合用列举法表示为________

    【答案】

    【解析】

    【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识,试题难度容易.
    【解答】解:集合
    故答案为   

    1. 下列说法错误的是

    A. 不等式的解集表示为
    B. 所有偶数的集合表示为
    C. 全体自然数的集合可表示为自然数
    D. 方程实数根的集合表示为

    【答案】

    ABD

    【解析】

    【分析】本题考查了集合的表示法的相关知识,试题难度较易.
    【解答】解:不等式 的解集表示为 ,故 A 错误;
    所有偶数的集合表示为 ,故 B 错误;
    显然 C 正确;
    方程 实数根的集合表示为 ,故 D 错误.
    故选 ABD   

    1. 已知集合,则          

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    本题考查了集合的含义和集合的表示方法的相关知识,属于基础题.
    代入 的值,从而可得集合

    【解答】

    解:因为
    时,
    时,
    时,
    时,
    所以
    故答案为

      

    1. 已知集合,则中所含元素的个数为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】

    D

    【解析】

    【分析】本题考查了集合中元素的个数问题的相关知识,试题难度较易.
    【解答】

    解:当时,

    时,

    时,

    时,

    综上,中含有元素.
    故选D

      考点四:集合相等

    1. 已知,若集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】

    B

    【解析】

    【分析】

    本题考查列举法表示集合,集合相等的定义,集合元素的互异性属于中档题.
    根据可得出,即,整理后分别讨论,根据元素的互异性可得 代入计算即可.

    【解答】

    解:


    时,,不符合集合元素的互异性,故舍去;
    时,,符合题意.


    故选B

      

    1. 含有三个实数的集合既可表示为,也可表示为,则的值为______

    【答案】

    【解析】

    【分析】
    本题考查集合的元素的三个特性和集合相等,注意集合中元素的互异性,属于基础题.
    根据所给的一个集合的两种表示形式,看出第二种表示形式中,只有 一定等于 ,重新写出集合的两种表示形式,把两种形式进行比较,得到 的值,得到结果.
    【解答】
    解: 集合既可以表示成
    又可表示成
    由于 ,所以 一定等于 ,即
    在后一种表示的集合中有一个元素是 ,只能是


    故答案为   

    1. 已知,求实数的值.

    已知,求实数的值

    【答案】

    解:
    ,则,集合,不满足集合的互异性;
    ,则,,集合
    时,符合题意;.
    ,则,集合不满足集合的互异性;
    综上
    解:由题意可得,,解得,或故答案为

    【解析】已知集合,三个元素都有可能等于,所以分三种情况, 
    此题主要考查元素与集合的关系以及集合三要素的应用,后面结果必须代入进行验证,这是易错的地方.
    此题考查集合相等,考查集合元素的性质及分类讨论,利用集合相等的定义可得方程,从而求出的值,利用元素的互异性检验即可.
      考点五:集合与一元二次方程

    1. 已知集合至多有一个元素,则的取值范围为_____________

    【答案】

    【解答】

    解: 若集合 中没有元素,即 ,那么方程 无解,
    ,所以
    若集合 中只有一个元素,那么方程 只有一个解.
    () 时, ,此时 ,满足题意,
    () 时, ,所以 ,此时 ,满足题意,
    综上所述,
    故答案为

    1. 已知,求实数的值;

    已知集合,若中有两个元素,求实数的取值范围.

    【答案】

    解:因为,所以有,显然

    时,,此时不符合集合元素的互异性,故舍去;

    时,解得
    由上可知不符合集合元素的互异性,舍去,
    时,,符合题意

    由于中有两个元素,
    关于的方程有两个不等的实数根,

    ,且,即,且

    故实数的取值范围是

    1. 已知
      ,用列举法表示
      中有且只有一个元素时,求值组成的集合

    【答案】

    解:
    时,则是方程的实数根,
    ,解得
    方程为,解得

    时,方程
    解得
    时,若集合只有一个元素,
    由一元二次方程有相等实根,判别式
    解得
    综上,当时,集合只有一个元素.
    所以值组成的集合

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