苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀课后测评
展开第13讲 指数函数
【知识梳理】
指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
| a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
定义域 | R | |
值域 | (0，＋∞) | |
性质 | 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 | |
当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 | 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 | |
在(－∞，＋∞)上是增函数 | 在(－∞，＋∞)上是减函数 | |
【典型例题】
考点一：指数函数的定义
- （2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
- （2018秋•西安区校级期中）函数y＝8﹣23﹣x（x≥0）的值域为 ．
- （2019秋•江阴市期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
考点二：单调性
- （2022·江苏省天一中学高一期末）已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- （2022·江苏·高一）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- （多选）（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）函数在下列那些区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
- （2021秋•姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（ ）
A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a
考点三：函数性质应用
- （2020秋•江阴市校级期中）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，一定有（ ）
A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0
- （2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
- （2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- （2022·江苏·高一期末）已知函数在单调递增，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数 B．对且，都有
C．若，恒成立，则实数
D．对，都有
考点四：不等式
- （2022·江苏南通·高二期中）已知函数，(为自然对数的底数
(1)判断函数的单调性并用定义法证明；
(2)是否存在实数t，使不等式对一切都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
- （2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设是实数，.
(1)若函数为奇函数，求的值；
(2)试证明：对于任意，在上为单调函数；
(3)若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
考点五：值域
- （2021秋•淮安月考）已知函数f（x）＝ax（a＞1），若存在实数m，n使得f（x）的定义域和值域都为[m，n]，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，e] B．（1，e2） C． D．
- （2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a，并比较与的大小；
(2)求函数的值域．
- （2022·江苏连云港·高一期末）设m为实数，已知函数是奇函数.
(1)求m的值；
(2)证明：在区间(+∞)上单调递减：
(3)当时，求函数的取值范围.
考点六：恒成立
- （2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知函数.
(1)求的值域；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
- （2022·江苏·楚州中学高三开学考试）已知函数．
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
- （2022·江苏·高一）已知函数是定义域为R的奇函数.当时，.
(1)求的解析式；
(2)，恒成立，求实数a的取值范围.
考点七：存在与有解问题
- （2022·江苏·高一）已知，函数是定义在R上的偶函数，.
(1)求a，判断函数的单调性并用定义证明;
(2)若对任意的，总是存在使得不等式成立，求b的范围.
- （2022·江苏·宝应县教育局教研室高三开学考试）已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
考点八：绝对值
- （2018秋•启东市校级月考）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围为（ ）
A．m＜1 B．m≥1 C．0≤m≤1 D．0≤m＜1
- （2022秋•秦淮区校级月考）已知函数的图像过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则2a+b＝ ．
- （多选）（2022·江苏·徐州中学高一开学考试）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得
C． D．
- （2018春•江阴市校级期中）若直线y＝2a与函数y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ．
考点九：实际应用
- （2020秋•龙凤区校级期末）如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a＝（ ）
A． B． C．2 D．3
- （2022秋•盐都区校级月考）某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣0.2t.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为t1，t2，则t2﹣t1的值为（ ）（取ln2＝0.7，e＝2.718…）
A．﹣ B．﹣ C． D．
- （2020秋•如皋市期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
- （2022·江苏·高一专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A． B． C． D．
- （2022·江苏·高一专题练习）业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，，其中为常数，,
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；
（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.
考点十：提升训练
- （2018秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝ex﹣1，g（x）＝﹣x2+4x﹣3，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为 ．
- （2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）已知，若存在，使得，则的取值范围为___________.
- （2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．
(1)求实数的值，并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(2)解不等式：．
- （2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）设函数是定义域的奇函数．
(1)求值；
(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上最小值为，求的值．
- （2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．
(1)求实数的值.
(2)并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(3)解不等式：．
- （2022·江苏·连云港市海滨中学高三开学考试）已知函数，，且的图象关于坐标原点成中心对称.
(1)求实数的值；
(2)若在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围.
- （2022·江苏南通·高一期末）定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．
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