高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数优秀同步练习题

幂函数

【知识梳理】

知识点1  幂函数

(1)、幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)、常见的5种幂函数的图象

(3)、幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

知识点2  幂函数的图像与性质

（1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

②、幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：

（2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

【典型例题】

考点一：幂函数定义

1. （2021·江苏·高一单元测试）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）

A． B．

C． D．

考点二：单调性

2. （2022·江苏省天一中学高一期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

3. （2021·江苏·高一专题练习）下列命题中，

①幂函数的图象不可能在第四象限；

②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；

④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．

其中正确的序号为________．

4. （2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

考点三：奇偶性

5. （2021·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）

A.p为奇数，且         B．p为奇数，且 

C．p为偶数，且         D．p为偶数，且

考点四；幂函数基本性质综合

6. (多选)（2022·江苏·楚州中学高三开学考试）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

7. （2021·江苏·高一专题练习）函数，若，则实数的范围是____________．
8. （2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

9. （2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

考点五：最值和取值范围

10. （2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围：

（3）若实数满足，求的最小值.

11. （2021·江苏苏州·高一期中）已知幂函数过点．

(1)若、，判断与的大小关系，并证明；

(2)求函数在区间上的值域．

12. （2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知幂函数满足．

(1)求函数的解析式：

(2)若函数，的最小值为，求的最大值；

(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，说明理由．

考点六：拓展提升

13. （2021·江苏·高一专题练习）已知函数，.

(1)求方程的解集；

(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；

(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.