高中数学第1章 集合1.2 子集、全集、补集优秀测试题

第二讲  子集、全集、补集

【知识梳理】

1．子集、真子集

(1)相关概念：

[点拨]　(1)真子集定义中的A≠B的含义是“B中至少有一个元素不在A中”．

(2)性质：①任何一个集合A是它本身的子集，即A⊆A.

②空集是任何集合A的子集，即∅⊆A.

2．补集

[点拨]　A在S中的补集是建立在A⊆S的基础上的．

3．全集

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.

【典型例题】

考点一：子集与真子集

1．写出下列集合的所有子集：

；       ；    ．

【答案】，； ，，，； ，，，，，，，.

【解析】

【分析】

根据所给集合列出相应子集即可.

【详解】

解： ，.

，，，.

，，，，，，，.

2．已知，，，，写出所有满足上述条件的集合．

【答案】或或或.

【解析】

【分析】

根据题意可知，进而求出集合.

【详解】

解：因为，，

则，

又由，，可知，即，

所以或或或.

考点二：补集

1. 已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.

解　∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，

∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．

而∁UB＝{－1,0,2}，

∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}．

2.已知全集U＝R，集合M＝{x|x＜－2或x≥2}，则∁UM＝________.

解析：把集合M在数轴上画出来(如图)，

由数轴知∁UM＝{x|－2≤x＜2}．

答案：{x|－2≤x＜2}

3．下列四个命题中，其中真命题的个数为（       ）

①与0非常接近的全体实数能构成集合；       

②表示一个集合；

③空集是任何一个集合的真子集；          

④任何一个非空集合至少有两个子集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.

【详解】

①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；

②，正确；

③空集是任何非空集合的真子集，错误；

④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.

故选：C

考点三：子集的个数

1．集合P={1，2，3}的子集的个数是（       ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据子集的定义判断．

【详解】

集合的子集可以是空集，1个，可以含有一个元素，，有3个，可能含有2个元素，，有3个，也可能含有3个元素，，有一个，共有8个。

故选：D．

2．已知集合，则的子集个数为（       ）

A．3 B． C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出，再按照子集个数公式求解即可.

【详解】

由题意得：，则的子集个数为个.

故选：B.

3．已知集合，则集合A的真子集个数为（       ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】D

【解析】

【分析】

利用真子集的计算公式即可计算出结果.

【详解】

由题意得集合所以集合的真子集个数为：．

故选：D．

考点四：集合间关系的判断

1．下列关系式错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.

【详解】

A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；

D选项是整数集，所以正确.

故选：AC.

2．下列关系式正确的为（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据任何集合是它本身的子集，即可判断A；根据集合和空集的定义，即可判断B；根据元素和集合间的关系，即可判断C；根据空集是任何集合的子集，即可判断D，从而得出答案.

【详解】

解：对于选项A，由于任何集合是它本身的子集，所以，故A正确；

对于选项B，是指元素为0的集合，而表示空集，是指不含任何元素的集合，

所以，故B错误；

对于选项C，是指元素为0的集合，所以，故C正确；

对于选项D，由于空集是任何集合的子集，所以，故D正确.

故选：ACD.

3.设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.

【详解】

由且，即，而，

所以为的子集，则.

故选：A

4．若集合，，则集合与的关系是（　　）

A． B． C． D．不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

由集合间子集关系的判断方法判断即可．

【详解】

解：B＝{y|y＝6m+5，m∈Z}＝{x|x＝6m+5，m∈Z}，

任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m+5，

而x＝6m+5＝3（2m+2）﹣1∈A，

故B⊆A，

又∵2∈A，2∉B，

∴A＝B，A⊆B都不正确，

故选：C．

考点五:由集合间关系求参数值(或范围)

1．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.

【详解】

由于，所以，

所以实数m的取值集合为.

故选：C

2．已知集合．

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若，求实数a的取值范围；

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；

（2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；

（3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可．

(1)

，；

(2)

，；

3．设集合，，且．

(1)求实数的取值范围；

(2)当时，求集合A的子集的个数．

【答案】(1){或}

(2)

【解析】

【分析】

（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；

（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．

(1)

当即时，，符合题意；

当时，有，解得．

综上实数的取值范围是或；

(2)

当时，，所以集合的子集个数为个．

4．若是的真子集，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意以及真子集定义分析得出有实数解即可得出答案.

【详解】

若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是.

故答案为:

5．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；

【答案】或.

【解析】

【分析】

根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值.

【详解】

因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，

当时，，所以，满足要求；

当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，

所以或，

故答案为：或.

6．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.

【详解】

因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，

当时，，所以，所以，满足要求；

当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，

故选：BCD.

考点六：新定义

1．对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{1，3}，B＝{2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是（       ）个.

A．14 B．12 C．13 D．11

【答案】A

【解析】

根据A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，得到A×B的元素的个数求解.

【详解】

∵A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，且A＝{1，3}，B＝{2，4}，

所以A×B＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，

共有四个元素，

则点集A×B的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.

故选：A.

2．已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（       ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意把中元素按相反数分成4组，这4组元素中一定是一组元素全属于或全不属于，由此结合集合的子集的性质可得的个数．

【详解】

满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合

的个数为个，

故选：.

3．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.

（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；

（2）已知集合，根据提示解决问题.

①求集合所有非空子集的元素和的总和；

提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.

②求集合所有非空子集的交替和的总和.

【答案】（1）12；（2）①672，②192

【解析】

【分析】

（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.

（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.

②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.

【详解】

（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，

集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，

集合{2，1}的交替和为2-1=1，

集合{3，1}的交替和为3-1=2，

集合{3，2}的交替和为3-2=1，

集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，

所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.

（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，

集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，

其中数字1、2、3、4各出现次，

在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为，

故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，

同理数字2、3、4、5各出现次，

同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，

所以集合所有非空子集的元素和的总和为.

②设集合的交替和分别为，

集合{1}的所有非空子集的交替和为

集合{1，2}的所有非空子集的交替和，

集合{1，2，3}的非空子集的交替和，

集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和

所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，

所以集合所有非空子集的交替和的总和