高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品巩固练习

第1课  平面向量的概念

知识点01  向量的概念及表示

1．向量的概念

(1)向量：既有    又有    的量叫做向量．

(2)数量：只有    没有    的量称为数量．

2．向量的表示

(1)有向线段

具有    的线段叫做有向线段，它包含三个要素：    、    、    ．

以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||.

(2)向量的表示

①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.

【即学即练1】下列命题中正确的是（    ）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

答案　

解析　

知识点02  相等向量与共线向量

1.向量的相关概念

【即学即练2】[多选]给出下列命题：其中假命题的是（    ）

A．若空间向量 满足， 则

B．空间任意两个单位向量必相等

C．若空间向量 满足，则

D．向量的模为

解析：

知识点03  向量的表示及应用

【即学即练3】某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．

答案　

解析

考法01  向量的概念及表示

【典例1】有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若，则，不是共线向量；

③若，则四边形是平行四边形；

④若，，则；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案

解析　

考法02  相等向量与共线向量

【典例2】下列五个命题：

①向量与共线，则必在同一条直线上；

②如果向量与平行，则与方向相同或相反；

③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；

④若，则、的长度相等且方向相同或相反；

⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.

其中正确的命题有______个.

【典例3】给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

③若与同向，且，则>；

④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．

其中假命题的个数为（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

题组A  基础过关练

1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）

A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量

2．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（   ）

A．与 B．与

C．与 D．

3．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

4．下列命题中正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量

C．若，则 D．任意向量的模都是正数

5．下列物理量中哪个是向量（    ）

A．质量 B．功 C．温度 D．力

6．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ）

A． B． C． D．

7．下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小没有方向 B．

C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等

8．下列命题中正确的个数是（    ）

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量，则四点必在一直线上；

③若，则；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A．0 B．1 C．2 D．3

9．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）

A．若 ，则 或

B．若向量 是向量 的相反向量，则

C．在正方体 中，

D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则

10．(多选)下列说法正确的是（    ）

A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件

B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上

C．与是非零向量，若与同向，则与反向

D．设为实数，若，则与共线

11．已知点满足，若，，则点的坐标为______．

12．下列各量中，是向量的是___________.（填序号）

①密度；②体积；③重力；④质量.

题组B  能力提升练

1．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）

A． B． C． D．

2．设是单位向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

3．下列说法正确的个数为（    ）

①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量

②零向量没有方向

③向量的模一定是正数 

④非零向量的单位向量是唯一的

A．0 B．1 C．2 D．3

4．（多选）下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

5．（多选）以下选项中，能使成立的条件有（    ）

A． B．或

C． D．与都是单位向量

6．已知为内一点，且满足，则为的________心．

7．给出下列命题：

①若 ，则；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

8．在线段的反向延长线上（不包括端点），且，则实数的取值范围是___________.

9．若为任一非零向量，为单位向量，给出下列说法：

①；    ②；

③；    ④；

⑤若是与同向的单位向量，则.

其中正确的说法有______个.

10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

题组C  培优拔尖练

1．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，

则下列判断错误的是   

A． B．∥

C． D．

2．有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若，则，不是共线向量；

③若，则四边形是平行四边形；

④若，，则；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（多选）下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

4．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．

（1）单位向量共有______个；

（2）模为的向量有______；

（3）与相等的向量有______；

5．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.

6．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

（1）与向量相等的向量；

（2）与向量共线的向量；

（3）与向量平行的向量.

7．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

8．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)，点A在点O北偏西45°方向；

(2)，点B在点O正南方向．