【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第03讲 平面向量的减法运算 讲义

第3课  平面向量的加法运算

知识点01  相反向量

1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

2．性质

(1)零向量的相反向量仍是零向量．

(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.

(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

【即学即练1】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

知识点02  向量的减法

1．定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的    向量，求两个向量  的运算，叫做向量的减法．

2．减法法则：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．

3．几何意义：如果把两个向量的    放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为    ，被减向量的终点为    的向量．

【即学即练2】（1）[多选]下列各向量运算的结果与相等的有(　　)

A.＋   B.－

C.－   D.－

(2)化简下列各式：

①－＋－；

②(－)＋(－)．

知识点03  用已知向量表示其他向量

【即学即练3】如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

反思感悟

用已知向量表示其他向量的步骤

(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．

考法01  向量减法法则

【典例1】1．在平行四边形中，为上任一点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

已知非零向量，满足，则_________.

考法02  向量减法的运算律

【典例2】化简______．

反思感悟

(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和．

②起点相同且为差．

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．

【变式训练】

1．（多选）下列能化简为的是（    ）

A． B． C． D．

2．空间任意四点A、B、C、D，则________．

考法03  向量减法的几何意义与应用

【典例3】 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.

【变式训练】

1．如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ）

A．0 B． C．1 D．2

2．如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

题组A  基础过关练

1．在中，点D在BC边上，且.设，则可用基底表示为（         ）

A． B．

C． D．

2．在中，已知是边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列化简结果错误的是（    ）

A． B．

C． D．

4．下列说法错误的是（    ）

A．若为平行四边形，则

B．若则

C．互为相反向量的两个向量模相等

D．

5．（    ）

A． B． C． D．

6．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（多选）化简以下各式，结果为的有（    ）

A． B．

C． D．

8．（多选）给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ）

A．若线段，则向量

B．若向量，则线段

C．若向量与共线，则线段

D．若向量与反向共线，则

9．已知非零向量，满足，则_________.

10．已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）

①；②；③；④.

11．如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.

12．已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及．

题组B  能力提升练

1．在平行四边形ABCD中，=，=，则=（     ）

A． B．-

C． D．

2．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（    ）

A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5

3．（多选）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是（       ）

A． B．

C． D．

4．（多选）在平行四边形中，下列结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知非零向量满足，，则的最大值为___________.

6．如图所示，中心为O的正八边形中，，，则______．（结果用，表示）

7．在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为________________．

8．在三角形ABC中，若，且，则_______

9．已知的对角线AC和BD相交于点O，且，，则＝________，＝________．(用表示)

10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若，，试以为基底表示，.

题组C  培优拔尖练

1．已知正六边形中，是的中点，则

A． B． C． D．

2．如图，在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．  八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中，则给出下列结论：

①；②；③．

其中正确的结论为（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

4．（多选）已知是平面内两两不相等的向量，满足，且（其中），则实数k的值可能为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．已知点是的重心，点在边上，

（1）用和表示；

（2）用和表示．

6．如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.

7．如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．

(1)；

(2)；

(3)．

8．证明：当向量，不共线时，

(1)；

(2)．