【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第04讲 平面向量的数乘运算 讲义

第4课  平面向量的数乘运算

知识点01  向量数乘的定义

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个    ，这种运算叫做向量的     ，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa(a≠0)的方向

特别地，当λ＝0时，λa＝0.

当λ＝－1时，(－1)a＝－a.

【即学即练1】　设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（     ）

A． B． 

B．C． D．

知识点02  向量数乘的运算律

1．设λ，μ为实数，那么

(1)λ(μa)＝(λμ)a.

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a.

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

2．向量的线性运算

向量的  、  、  运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

【即学即练2】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.

知识点03  向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

【即学即练3】已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ）

A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心

答疑解惑

　向量共线定理中为什么规定a≠0?

答案　若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．

(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.

(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.

考法01  向量的线性运算

【典例1】(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)

A．－a   B．－b

C．－c   D．以上都不对

反思感悟　向量线性运算的基本方法

(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．

(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．

【变式训练】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.

考法02  用已知向量表示其他向量

【典例2】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)

反思感悟

用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

【变式训练】如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a－b   B.a＋b

C．a＋b   D．a－b

考法03  向量共线的判定及应用

【典例3】在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)

A.＋   B.－

C.－   D.＋

反思感悟

(1)证明或判断三点共线的方法

一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．

(2)利用向量共线求参数的方法

已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．

【变式训练】设a，b是不共线的两个向量．

(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，

求证：A，B，C三点共线；

(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．

题组A  基础过关练

2022年12月22日高中数学作业

2022.12.15

一、单选题

1．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

2．在中，点D在BC边上，，则（    ）

A． B． C． D．

3．在△ABC中，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ）

A．  B．

C．  D．

5．是所在平面内一点，，则点必在（    ）

A．内部 B．在直线上

C．在直线上 D．在直线上

6．若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

7．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知等边的边长为，D为中点，则（    ）

A． B． C． D．

9．（多选）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．和能构成一组基底

10．（多选）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，则（    ）

A． B．

C． D．

．

11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______．

12．如图，已知，若，则_________，_________.

题组B  能力提升练

1．已知向量，不共线，若，，，则（    ）

A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线

2．在中，已知是边上一点，若，则（    ）

A．2 B．１

C．-2 D．－1

3．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

4．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（　 ）

A．1 B．

C．1或 D．或

5．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

6．设为所在平面内一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量与不共线，且与共线，则___________．

8．在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若，则λ＋μ＝_________．

9．P是梯形ABCD外一点，，则_____．

10．（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.

（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.

题组C  培优拔尖练

1．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）

A． B．3 C． D．

2．已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ）

A． B． C． D．

3．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

4．设O是的外心，满足，，若，则的面积是

A．4 B． C．8 D．6

5．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.

6．已知向量满足，则的最大值是_________

7．已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题：

①；

②若，则；

③若，则；

④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是．

其中所有真命题的序号为______．

8．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．