人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词精品练习

1.5   全称量词与存在量词

思维导图

新课标要求

1.全称量词与存在量词

通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。

②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

知识梳理

1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．

2.全称命题：，，它的否定：，。全称命题的否定是特称命题。

特称命题：，，它的否定：，。特称命题的否定是全称命题。

名师导学

知识点1    全称命题、特称命题的判断

【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中为全称量词命题的是（     ）

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

【例1-2】（2021·江苏·高一课时练习）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假．

（1）实数都能写成小数形式；

（2）存在实数m，n，使m－n＝1.

【变式训练1-1】（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高一阶段练习）下列命题为存在量词命题的是（       ）

A．某些二次函数的图象与轴有交点

B．正方体都是长方体

C．不平行的两条直线都是相交直线

D．存在实数大于或等于2

【变式训练1-2】（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．

（1）有的质数是偶数；

（2）所有的质数都是奇数；

（3）负数的平方是正数；

（4）每一个多边形的外角和都是360°.

知识点2    全称量词命题与存在量词命题的否定

【例2-1】（2022·江苏南通·高一期末）命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【例2-2】（2022·浙江浙江·高一期中），的否定是___________．

【变式训练2-1】（2022·安徽阜阳·高一期中）命题“，都有”的否定是（       ）

A．，都有 B．，都有

C．，使得 D．， 使得

【变式训练2-2】（2021·湖北孝感·高一期中）命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【变式训练2-3】（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p的否定，并判断其真假.

(1)p：，.

(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.

(3)p：有的三角形的三条边相等.

(4)p：等腰梯形的对角线垂直．

知识点3    全称量词命题与存在量词命题的综合应用（难点）

【例3-1】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．

延伸探究

1．把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．

2．把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

【例3-2】已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．

延伸探究

1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．

2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围．

【变式训练3-1】（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知“”是真命题，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-2】（2021·广东·广州市培英中学高一阶段练习）已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【变式训练3-3】（多选）（2021·江西·高一期中）命题，是假命题，则实数b的值可能是（       ）

A． B． C． D．

【变式训练3-4】2021·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）解答：

(1)已知命题p：“，”是真命题，求实数a的取值范围；

(2)已知命题q：“满足，使”为真命题，求实数a的范围.

【变式训练3-5】（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习）从两个符号“”“”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.

已知集合，，若命题：①，则是真命题，求m的取值范围.

名师导练

A组-[应知应会]

1．（2021·山东临沂·高一期中）下列命题中，是全称量词命题的是（       ）

A．，

B．当时，函数是增函数

C．存在平行四边形的对边不平行

D．平行四边形都不是正方形

2．（2022·安徽·高一期中）已知命题，则的否定为（       ）

A．                 B． 

C．                 D．

3．（2021·河南南阳·高一阶段练习）下列命题中，是全称命题又是真命题的是（       ）

A．对任意的，都有

B．菱形的两条对角线相等

C．，

D．一次函数在上是单调函数

4．（2021·辽宁·高一期末）已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5．（多选）（2021·河南·范县第一中学高一期中）下列命题中，是全称量词命题的有（       ）

A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立

B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立

C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立

D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立

6．（多选）（2021·湖南·长郡中学高一期中）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有(       )

A．， B．有的矩形不是平行四边形

C．， D．，

7．（多选）（2021·湖南·长沙一中高一期中）下列命题中正确的是（       ）

A．已知集合满足命题“”为真命题，则

B．已知集合满足命题“”为真命题，则

C．已知集合满足命题“”为真命题，则

D．已知集合满足命题“”为假命题，则

8．（2021·全国·高一课时练习）下列语句是全称量词命题的是______（填序号）．

①有的无理数的平方是有理数；

②有的无理数的平方不是有理数；

③对于任意，是奇数；

④存在，是奇数．

9．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．

10．（2022·贵州铜仁·高一期末）若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.

11．（2021·全国·高一课时练习）指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。

(1)若，则是偶数；

(2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对都对应一点；

(3)存在一个实数x，使得；

(4)至少有一个，使x能同时被2和3整除．

12．（2021·江苏·高一专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．

（1）任意实数都有，；

（2）存在实数，；

（3）存在一对实数、，使成立；

（4）有理数的平方仍为有理数；

（5）实数的平方大于：

（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于．

13．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，，且．

(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。

B组-[素养提升]

1．（2022·江苏·高一）已知命题，是假命题，则的取值范围为（       ）

A． B．

C．或 D．或

2．（2021·全国·高一单元测试）一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“，”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“，”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．

3．（2021·江苏·高一单元测试）已知集合，，

（1）若，，总有成立，求实数的取值范围；

（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；