【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 第12章复数学案含解析

12.2　复数的运算

第1课时　复数的加减与乘法运算

知识点1　复数的加减法

(1)复数的加法、减法法则

①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．

②加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

减法法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．

(2)运算律

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ (　　)

A．8i  B．6  C．6＋8i  D．6－8i

B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]

知识点2　复数的乘法与共轭复数

(1)复数的乘法

①复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

②乘法运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(2)共轭复数

①定义：实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi．

②当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数是它本身．

复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

[提示]　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

2．复数(3＋2i)i等于(　　)

A．－2－3i　   B．－2＋3i

C．2－3i　   D．2＋3i

B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]

3．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．

0　[z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0．]

类型1　复数的加、减法运算

【例1】　(1)＋(2－i)－＝________．

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z．

(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i

＝1＋i．]

(2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

因为z＋1－3i＝5－2i，

所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，

即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，

所以z＝4＋i．

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．

(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，

又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i．

1．复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．

2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．

[跟进训练]

1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z＝________．

1＋i　[∵z－(1－i)＝2i，

∴z＝1－i＋2i＝1＋i．]

类型2　复数的乘法运算

【例2】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝________．

(2)复数(4＋3i)i＝________．

(1)3－4i　(2)－3＋4i　[(1)∵a＋i＝2－bi，

∴a＝2，b＝－1，

∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i．

(2)(4＋3i)i＝4i＋3i2＝－3＋4i．]

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i．

[跟进训练]

2．若z1＝4＋bi(b∈R)，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________．

4＋3i　[∵z1＝4＋bi，b∈R，z2＝3＋4i，

∴z1·z2＝(4＋bi)(3＋4i)＝12－4b＋(16＋3b)i．

由题意可知

，

∴b＝3．

∴z1＝4＋3i．]

类型3　共轭复数的应用

【例3】　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z．

设z＝a＋bia，b∈R，代入等式，利用复数的相等求得复数z.

[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

则有解得或

所以z＝－1或z＝－1＋3i．

共轭复数的处理技巧

当已知条件出现共轭复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．

[跟进训练]

3．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2．

[解]　因为z＝1＋i，＝1－i，

所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，

(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i．

由a，b∈R，及复数相等的充要条件，得

解得或

1．计算(3＋i)－(2－i)的结果为(　　)

A．5  B．5＋2i  C．1  D．1＋2i

D　[原式＝(3＋i)－2＋i＝1＋2i，故选D．]

2．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)

A．1＋i   B．2＋i

C．3   D．－2－i

D　[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i．]

3．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．

4＋2i　[∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i．]

4．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．

2　[ (a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，∴a－2＝0，a＝2． ]

5．复数z＝(3－2i)i的共轭复数＝________．

2－3i　[∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，

∴＝2－3i．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．若z1＝a＋bi，(a，b∈R)，z2＝c＋di，(c，d∈R)，则z1±z2及z1·z2分别是多少？

[提示]　z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，

z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．复数z＝a＋bi，a，b∈R的共轭复数如何表示？

[提示]　＝a－bi(a，b∈R)．

3．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？

[提示]　若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R．因此，和一定是实数；而z－＝2bi．当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．