第12章 复数 单元综合能力测试卷

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第12章 复数单元综合能力测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，所以，解得.故选：B2．复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为，根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.故选：D.3．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（    ）A．正方形面 B．一条直线 C．圆面 D．圆环面【答案】D【解析】设，则由可得，即，所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.故选：D.4．已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由题意，整理得，所以，解得.故选：C.5．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故选：C.6．已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，所以，，即，所以，，可得，解得，当的虚部取最小值时，即当时，则，解得，故，故选：A.7．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ）A． B．若，则的最大值为C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则【答案】B【解析】对于A，设，则，，A错误；对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；对于D，依题意，，整理得，而，因此，解得，D错误．故选：B.8．已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ）A． B． C．的周长 D．的面积【答案】A【解析】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则，由可得，对于方程，则，解方程可得，所以，，所以，，中，由于不是定值，则的面积、均不为定值，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平面内对应的点在一条直线上【答案】AD【解析】对于A：设，若，则，故必有，A正确； 对于B：若，，则有，但，B错误；对于C：若，，则有，但，C错误；对于D：设复数，在复平面内对应的点为和若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确.故选：AD.10．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）A．的虚部为B．C．D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为【答案】CD【解析】由题意可得，所以的虚部为，A错误，，故，B错误，，C正确，表示点到的距离不大于1的点构成的图形，故为以为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为，D正确，故选：CD11．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ）A．复数为纯虚数B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆【答案】ABD【解析】对于A，，则为纯虚数，A正确；对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；对于C，，复数的共轭复数为，C错误；对于D，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．故选：ABD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．下列关于复数的命题，是真命题的是 ．（填序号）①；②若，则；③若，则是纯虚数；④对任意实数，都有是虚数．【答案】①②④【解析】对于①，，①正确；对于②，由，设，则，②正确；对于③，当时，，而是实数，③错误；对于④，当时，，当且仅当时取等号，因此是虚数，④正确，所以真命题的是①②④.故答案为：①②④13．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ．【答案】【解析】由题设为实数，故，，故，所以.故答案为：14．已知，是复数，则下列正确结论的序号是 ．①若，则；       ②若，则；③若，则；    ④若，则．【答案】①②③【解析】设，(其中，)对于①由，可得，则，故①正确；对于②若，则，，所以，故②正确；对于③若，则，由，，则，故③正确；对于④若，令，，则，，所以，故④不正确.故答案为：①②③四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）设复数．(1)若是实数，求；(2)若是纯虚数，求．【解析】（1）由，得，而是实数，于是，解得，所以．（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，所以．16．（15分）计算下列各题:(1)；(2).【解析】（1）.；（2）..17．（15分）设虚数z满足.(1)计算的值；(2)是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设且，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以；（2）存在.设且，假设存在实数a使，则有，所以，因为，所以，得所以存在实数，满足.18．（17分）已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.(1)若为纯虚数，求；(2)若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.【解析】（1）因为复数，所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或，所以或.（2）①存在，理由如下：法一：由题意知：，得，解得或 ，因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则，所以即，所以，所以 ，且时，满足.所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线，所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则且，因此的面积， ，设，则，当且仅当且，即或时等号成立，所以，其最大值为2.19．（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；    ②；③；        ④.(1)设，，求和.(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②    ③.试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.(3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.【解析】（1）因为，，所以，（2）设，，，、、、、、、，则，，故①不成立，，，，因为，，所以，故②正确；，，，，设，，，则，，，所以，故，即③错误；（3）设满足条件的，，、，则，，因为为任意的复数，不妨设且，由定义可得，即，则，所以，则，以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，不妨令，则，则，当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.