苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数本章综合与测试课后测评

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(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知复数z=-3i,则复数z的模是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5 B.8

C.6 D.

2.如图,复数z1,z2在复平面内分别对应点A,B,z1=3+4i,将点A绕原点O按逆时针方向旋转90°得到点B,则=(　　)

A.3-4i B.-4-3i

C.-4+3i D.-3-4i

3.已知复数z1=tan2θ-3tan θ+itan2θ,z2=4+(5tan θ+6)i,0≤θ<π,且θ≠,若z1-z2=0,则θ的值为(　　)

A. B.

C. D.

4.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,i为虚数单位,那么对应的复数为(　　)

A.4+7i B.1+3i

C.4-4i D.-1+6i

5.已知i是虚数单位,则z=+·i在复平面内所对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

6.若z2+z+1=0,则z2 017+z2 018+z2 020+z2 021的值为(　　)

A.2 B.-2

C.-+i D.-±i

7.已知复数z=1+ai(a∈R,i是虚数单位),=-+i,则a等于(　　)

A.2 B.-2

C.±2 D.-

8.对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当a,b,c,d同时满足①a=1,②b2=1,③c2=b时,b+c+d=(　　)

A.1 B.-1 C.0 D.i

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的为(　　)

A.(3,1) B.(-2,0) C.(0,4) D.(-1,-5)

10.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是(　　)

A.z不可能为纯虚数

B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数

C.若z=|z|,则z是实数

D.|z|可以等于

11.对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(　　)

A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n

B.当z1,z2∈C时,若+=0,则z1=0且z2=0

C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z·

D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|

12.已知i为虚数单位,下列说法中正确的是(　　)

A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.若复数z=1+2i,则|+3i|=　　　　.

14.若a为实数,且=3+i,则a的值为　　　　.

15.已知i是虚数单位,设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是3+2i,2-4i,则点C对应的复数是　　　　.

16.已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.(第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i.

(1)当m为何值时,z为纯虚数?

(2)当m为何值时,z对应的点在直线y=x上?

18.(本小题满分12分)已知复数z=.

(1)求z的共轭复数;

(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.

19.(本小题满分12分)已知复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤2π),求θ为何值时,|1-i+z|取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值.

20.(本小题满分12分)已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i,其中λ,m∈R,θ∈,且z1=z2,求λ的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

(1)确定点M的集合构成图形的形状;

(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.

22.(本小题满分12分)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,u=.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)求证:u为纯虚数;

(3)求ω-u2的最小值.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.D　由题意得|z|==.

2.B　由题意知A(3,4),B(-4,3),∴z2=-4+3i,故=-4-3i.

3.C　因为z1-z2=0,所以z1=z2,

由复数相等的充要条件,

可得解得tan θ=-1.

又0≤θ<π,且θ≠,所以θ=.

4.C　因为,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.

5.D　因为z=+·i=+·i=2-3i+i·i=1-3i,

所以z在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.

6.B　将z2+z+1=0两边同乘z-1,

得z3-1=0,所以z3=1(z≠1),

则z4=z,z2 017=(z3)672·z=z,

所以原式=z2 017(1+z+z3+z4)

=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.

7.B　由题意可得=-+i,

即==+i=-+i,

∴=-,=,

∴a=-2.

8.B　由题意知b=-1,c=±i.当c=i时,满足性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”的d为-i.同理,当c=-i时,d=i.综上可知,c+d=0.

∴b+c+d=-1.

二、多项选择题

9.ACD　易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3+i、-2、4i、-1-5i,因此A、C、D中的点对应的复数为虚数.

10.BC　当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此b=0,则z=a,是实数,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无实数根,即|z|不可以等于,D错误.故选BC.

11.AC　由复数乘法的运算律知A正确;取z1=1,z2=i,满足+=0,B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但由|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|,D错误.故选AC.

12.CD　满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;

在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=,

由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,∴

解得

∴z=-15+8i,B错误;

由复数的模的定义知C正确;

若z1=0或z2=0,则|z1+z2|=|z1-z2|成立,此时⊥,

若z1≠0且z2≠0,由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,其两邻边垂直,则⊥,D正确.故选CD.

三、填空题

13.答案　

解析　由z=1+2i得=1-2i,所以|+3i|=|1+i|=.

14.答案　4

解析　==+i=3+i,

所以解得a=4.

15.答案　5-2i

解析　依题意得A(0,0),B(3,2),D(2,-4),则=(3,2),=(2,-4).

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴=+=(3,2)+(2,-4)=(5,-2),故点C对应的复数为5-2i.

16.答案　3;7

解析　|z|=2表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示该圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为-2=5-2=3,最大值为+2=5+2=7.

四、解答题

17.解析　由题意得复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i,则z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i.(4分)

(1)若z为纯虚数,则

解得m=-1.(7分)

(2)若z对应的点在y=x上,则m2-2m-3=m2-4m+3,解得m=3.(10分)

18.解析　(1)因为z===1+i,

所以=1-i.(6分)

(2)由题意得a(1+i)+b=1-i,即a+b+ai=1-i,所以a+b=1,a=-1,(8分)

解得a=-1,b=2.(12分)

19.解析　|1-i+z|=|cos θ+1+i(sin θ-1)|

=

=

=.(4分)

因为0≤θ≤2π,

所以当θ=时,|1-i+z|max===+1;(8分)

当θ=时,|1-i+z|min==-1.(12分)

20.解析　因为z1=z2,

所以(3分)

整理得λ=4-(2cos θ)2-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4-.(6分)

因为θ∈,

所以sin θ∈[0,1],(8分)

则∈,(10分)

所以λ∈.(12分)

21.解析　(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),(2分)

则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以点P为圆心,2为半径的圆,如图所示.(4分)

(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.(7分)

如图所示,由(1)知|PQ|==5,则|z-1+2i|的最大值即|MQ|的最大值,是|PQ|+2=7;(10分)

|z-1+2i|的最小值即|MQ|的最小值,是|PQ|-2=3.(12分)

22.解析　设z=a+bi,a,b∈R且b≠0.

(1)ω=a+bi+=+i.(2分)

因为ω是实数,b≠0,

所以a2+b2=1,即|z|=1,所以ω=2a.

因为-1<ω<2,所以-<a<1.

故z的实部的取值范围是.(4分)

(2)证明:因为a2+b2=1,所以u====-i.

因为a∈且b≠0,

所以-≠0,所以u为纯虚数.(6分)

(3)ω-u2=2a-=2a+

=2a+=2a+=2(a+1)+-3.(8分)

因为-<a<1,所以a+1>0.

于是ω-u2=2(a+1)+-3≥2×2-3=1,

当且仅当a+1=,

即a=0时等号成立.

所以ω-u2的最小值为1.(12分)