苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数本章综合与测试复习练习题

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易混易错练

易错点1　应用纯虚数的概念时,因忽略虚部不能为0致错

1.()设m∈R,若m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,则m=　　　　.

2.()已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数单位),试求实数m取什么值时,z分别为:

(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

易错点2　不能正确理解复数相等的充要条件致错

3.()已知(2+i)y=x+yi,x,y∈R,则=(　　)

A. B. C.2 D.

4.()已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+ni,则=(　　)

A.i B.1 C.-i D.-1

5.(2019安徽合肥高二月考,)已知m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

易错点3　复数的除法运算过程中分母易错

6.()复数=(　　)

A.--i B.-+i

C.-i D.+i

7.()若复数=2-i(其中a,b是实数,i是虚数单位),则复数a+bi在复平面内所对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

8.()已知复数z=(i是虚数单位),是z的共轭复数,则z·=(　　)

A. B. C.1 D.2

易错点4　不能正确理解复数的几何意义致错

9.()已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为(　　)

A.1+i B.-1+i

C.-1-i D.-1±i

10.()已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的集合构成的图形是(　　)

A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆

11.()已知i是虚数单位,O为坐标原点,向量对应的复数为3+2i,将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到的向量记为,分别写出:

(1)向量对应的复数;

(2)点O'对应的复数;

(3)向量对应的复数.

易错点5　混淆实数的绝对值与复数的模致错

12.()对任意复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),下列结论正确的是　　　　.(填序号)

①|z-|=2y;②z2=x2+y2;

③|z-|≥2x;④|z|≤|x|+|y|.

13.()在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.

思想方法练

一、方程思想在解决复数问题中的运用

1.()已知i是虚数单位,若(m2-1)+(m2-3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.1 B.-1 C.±1 D.1或2

2.()已知i是虚数单位,设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R),若z在复平面内对应的点在直线y=x+上,则m的值是(　　)

A.± B. C.- D.15

3.(2020江苏姜堰中学高一阶段检测,)已知i是虚数单位,当复数z=lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数时,实数m=　　　　.

4.()(1)设z=1+i(i是虚数单位),求+z2;

(2)设x,y∈R,复数z=x+yi,且满足|z|2+(z+)i=,试求x,y的值.

二、数形结合思想在解决复数问题中的运用

5.()已知i为虚数单位,如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(　　)

A.1 B. C.2 D.

6.()已知i是虚数单位,如图,在复平面内,点A对应的复数为z1,若=i,则z2=　　　　.

7.()如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好为平行四边形的四个顶点,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则zA-zC=　　　　.

8.()已知复数z的模为1,求|z-1-2i|的最大值和最小值.

三、转化与化归思想在解决复数问题中的运用

9.()已知关于x的实系数方程为x2-ax+ab=0.

(1)设x=1-i(i是虚数单位)是方程的根,求实数a,b的值;

(2)证明:当>时,该方程没有实数根.

10.()设虚数z满足|2z+3|=|+2|.

(1)求证:|z|为定值;

(2)是否存在实数k,使得+为实数?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

答案全解全析

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易混易错练

1.答案　-2

解析　因为m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,

所以解得m=-2.

2.解析　(1)由得m=-2,

∴当m=-2时,z是实数.

(2)由得m≠-1且m≠-2,

∴当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.

(3)由题意得

即解得m=0.

∴当m=0时,z是纯虚数.

3.D　因为x∈R,y∈R且(2+i)y=2y+yi=x+yi,

所以2y=x,所以=|2+i|=,

故选D.

4.A　因为m+i=1+ni,所以m=n=1,则===i.故选A.

5.A　由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,得解得m=1.

6.C　因为i2=-1,i3=-i,i4=1,所以===-i.

7.C　由=2-i,可得a+i=(b-i)(2-i)=2b-1-(2+b)i,

所以解得

所以复数a+bi在复平面内所对应的点的坐标为(-7,-3),位于第三象限,故选C.

8.A　∵z========,

∴=,

∴z·=.

故选A.

9.D　设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a,b).

根据题意可画图形如图所示,

∵|z|=2,且与实轴正方向的夹角为120°,

∴a=-1,b=±,

即点Z的坐标为(-1,)或(-1,-).

∴z=-1+i或z=-1-i.

10.A　由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1.∵|z|≥0,∴|z|=3,故复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,3为半径的圆.

11.解析　如图所示,O为原点,点A的坐标为(3,2),将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后,点O'的坐标为(-2,3),点A'的坐标为(1,5),向量平移不改变向量的方向和模.

(1)向量对应的复数为3+2i.

(2)点O'对应的复数为-2+3i.

(3)向量对应的复数为-3-2i.

12.答案　④

解析　对于①,=x-yi(x,y∈R),则|z-|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=2|y|,故不正确;

对于②,z2=x2-y2+2xyi,故不正确;

对于③,|z-|=2|y|≥2x不一定成立,故不正确;

对于④,|z|=≤|x|+|y|,故正确.

13.解析　因为x∈C,所以设x=a+bi(a,b∈R),代入方程得(a+bi)2-5+6=0,

所以

解得或

所以原方程有6个解,分别为i,-i,2,-2,3,-3.

思想方法练

1.B　由(m2-1)+(m2-3m+2)i是纯虚数,得解得m=-1.故选B.

2.B　由题意,得log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,即log2=-1,

∴=,解得m=±,

由得m>,

∴m=.

3.答案　4

解析　复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数,

则解得m=4.

4.解析　(1)+z2=+(1+i)2=1-i+2i=1+i.

(2)将z=x+yi代入|z|2+(z+)i=,得x2+y2+2xi=1-i,

∴∴

5.A　设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合为线段Z1Z2(包括端点),如图所示.

问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于点Z0,则Z3与Z0之间的距离即为所求的最小值,即|Z0Z3|=1.故选A.

6.答案　-2-i

解析　由题图可知z1=-1+2i,由=i,得z2=z1·i=(-1+2i)i=-2-i.

7.答案　2-4i

解析　因为+=,

所以4+ai+(a+bi)=6+8i.

因为a,b∈R,所以

解得

所以zA=4+2i,zC=2+6i,

所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.

8.解析　∵复数z的模为1,

∴z在复平面内的对应点在以原点为圆心,1为半径的圆上.

而|z-1-2i|=|z-(1+2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离,如图.

∴|z-1-2i|min=|AB|=|OA|-|OB|=-1,

|z-1-2i|max=|AC|=|OA|+|OC|=+1.

9.解析　(1)∵x=1-i是方程的根,

∴1+i也是方程的根.

由根与系数的关系得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=ab,解得a=b=2.

(2)证明:∵>,∴-=>0⇒4a(4b-a)>0⇒4ab-a2>0,

∴Δ=a2-4ab<0,∴当>时,该方程没有实数根.

10.解析　(1)证明:依题意,设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),代入|2z+3|=|+2|,

得|(2x+3)+2yi|=|(x+2)-yi|,整理得x2+y2=3,即|z|=,∴|z|为定值.

(2)假设存在实数k,使得+为实数,

即+=+=+=+=+i为实数,

∴-=0.

∵y≠0,∴k=±,故存在实数k,使得+为实数,此时k=±.